OPERASI PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN BILANGAN BULAT (MATEMATIKA SD/MI)

 Operasi hitung bilangan bulat merupakan materi dalam matematika yang diajarkan pada jenjang SD dan SMP. Materi ini bisa dibilang mudah, juga bisa dibilang sulit. Banyak kesalahan yang terjadi akibat kesalahan dalam menggunakan tanda, terutama pada tanda negatif (minus).

Sebenarnya, pengerjaan hitung bilangan bulat itu sangat mudah. Asalkan prinsip/konsep paling dasar dikuasai terlebih dahulu. Terutama dalam mencermati bilangan-billangan bulat yang dioperasikan.  Jika sudah menguasai konsep dasar ini, segala operasi bilangan bulat dan sebesar apapun bilangannya maka akan mudah menyelesaiakannya.

Sekarang kita bahas konsep dasar ini.

 

A. Penjumlahan Bilangan Bulat

1. Bilangan Positif (+) Ditambah Bilangan Positif (+)

Ini sering kita kerjakan. Caranya jumlahkan saja.

Contoh :

2 + 3 = 5

4 + 9 = 13

12 + 17 = 29, Mudah bukan

200 + 176 = 376,

185 + 511 = 696, Mudah bukan?

23 + 27 + 18 = 68

20 + 40 + 65 = 125

2. Bilangan Negatif (-) ditambah Bilangan negatif(-)

Kalau pada nomor 1 keduanya positif, maka yang nomor 2 ini penjumlahan bilangan negatif semua.

Caranya sama.: Jumlahkan kedua bilangan seperti pada bilangan positif, lalu berilah tanda minus pada hasilnya.Coba bandingkan penjumlahan berikut dengan penjumlahan pada nomor 1.

 

Contoh:

(-2) + (-3) = -5

(-4) + (-9) = -13

(-12) + (-17) = -29

(-200) + (-176) = -376

(-185) + (-511) = -696

(-23) + (-27) + (-18) = -68

(-20) + (-40) + (-65) = -125

Cermati polanya bahwa jumlahan seluruh bilangan negatif maka hasil negatifnya semakin besar.

 

3. Bilangan Positif (+) ditambah Bilangan negatif(-) atau Sebaliknya

Bentuk yang ketiga ini yang paling sering terjadi kesalahan pada siswa.Oleh karena itu perlu diingat betul cara cermat dan tepat dalam menyelesaikan bentuk penjumlahan ini.

Begini:

Jika dua bilangan berbeda tanda (positif dan negatif) selesaikan dengan mencari selisihnya, lalu bubuhkan tanda (+) atau (-) dengan mengikuti bilangan yang besar.

 

Contoh:

7 + (-2) = -5, (cara: 7 - 2 = 5, tanda mengikuti yang bilangan 7, yaitu +)

4 + (-12) = -8, (cara: 12 - 4 = 8, tanda mengikuti yang bilangan 12, yaitu -)

16 + (-25) = -9, (cara: 25 - 9 = 16, tanda mengikuti yang bilangan 25, yaitu -)

-23 + 40 = 17, (cara: 40 - 23 = 17, tanda mengikuti yang bilangan 40, yaitu +)

 -51 + 33 = -18, (cara: 51 - 33 = 18, tanda mengikuti yang bilangan 51, yaitu -)

 -49 + 75 = -24, (cara: 75 - 49= 26, tanda mengikuti yang bilangan 75, yaitu +)

 100 + (-34) = 46, (cara: 100 - 34 = 46, tanda mengikuti yang bilangan 100, yaitu +)

Bagaimana caranya jika terjadi operasi hitung penjumlahan beruntun?

Dengan mengkombinasikan ketiga cara di atas, lakukanlah cara mudah berikut.

 

Contoh:

5 + (-19) + (-12) + 10 + (-3)

Penyelesaianya sebagai berikut.

Pilihlah dan pilahlah antara bilangan positif dan negatif.

Positif saya beri tanda warna biru, dan negatif tanda warna merah.

Sehingga menjadi:

5 + (-19) + (-12) + 10 + (-3)   Kemudian kelompokkan

5 + 10 + (-19) + (-12) + (-3) 

= 15 + (-34)

= -19 

Jadi, 5 + (-19) + (-12) + 10 + (-3) = -19.

Coba lagi yang ini.

25 + (-35) + 50 + 85 + (-40) + (-20)

Penyelesaianya sebagai berikut.

Pilihlah dan pilahlah antara bilangan positif dan negatif.

Positif saya beri tanda warna biru, dan negatif tanda warna merah.

Sehingga menjadi:

25 + (-35) + 50 + 85 + (-40) + (-20)   Kemudian kelompokkan

25 + 50 + 85 + (-35) + (-40) + (-20)

= 160 + (-95)

= 65

Jadi, 25 + (-35) + 50 + 85 + (-40) + (-20) = 65.

Sekali Coba lagi yang ini.

(-17) + (-23) + 62 + (-11) + 35 + (-54)

Penyelesaianya sebagai berikut.

Pilihlah dan pilahlah antara bilangan positif dan negatif.

Positif saya beri tanda warna biru, dan negatif tanda warna merah.

Sehingga menjadi:

(-17) + (-23) + 62 + (-11) + 35 + (-54)   Kemudian kelompokkan

(-17) + (-23) + (-11) + (-54) + 62 +  35

= (-105) + 97

= -8

Jadi, (-17) + (-23) + 62 + (-11) + 35 + (-54) = -8.

Bagaimana? Sebenarnya operasi penjumlahan bilangan bulat sangatlah  mudah. Penjumlahan inilah yang akan menjadi dasar pada pengurangan bilangan bulat. Jadi, kuatkan dahulu pnguasaan materi penjumlahan bilangan bulat ini. Saya yakin, jika penjumlahan bilangan bulat ini sudah ada di genggaman, maka pengurangan bilangan bulat juga mudah kamu kuasai.

B. Pengurangan Bilangan Bulat

Dalam pengurangan bilangan cacah kita lebih mudah menyelesaikan, baik dari bilangan kecil hingga bilangan besar.

 

Contoh :

8 - 2 = 6

18 - 4 = 14

35 - 17 = 18

Nah, sekarang perhatikan pengurangan berikut.

8 - 10 = ?

12 - 29 =?

27 - 36 = ?

Bilangan di depan lebih kecil dari pada bilangan di belakang. Maka solusinya diperluas dalam bilangan bulat. Ingat, mengurang bilangan sama artinya dengan menjumlah dengan lawannya.

 

Contoh:

8 - 10 ditulis  8 + (-10)

7 - 16 ditulis 7 + (-16)

14 - (-9) ditulis 14 + 9

- 28 - (-13) ditulis -28 + 13

-125 - 32 ditulis -125 + (-32)

Lebih jelasnya perhatikan pengurangan bilangan bulat berikut.

9 - 13 =  9 + (-13) = 4

16 - 25 = 16 + (-25) = -9

-12 - (-29) = -12 + 29 = 17

43 - (-11) = 43 + 11 = 54

-75 - 21 = -75 + (-21) = -96

Sekarang perhatikan pengurangan beruntun berikut.

14 - (-25) - (-9) - 15 

Penyelesaiannya sebagai berikut.

 14 - (-25) - (-9) - 15      Ubah ke bentuk penjumlahan

=  14 + 25 + 9 + (-15)    Kelompokkan sesuai tandanya dan jumlahkan

= 48 + (-15)

= 33

Perhatikan pengurangan beruntun berikut.

-34 - (-18) - 21 - (-45) - 16

Penyelesaiannya sebagai berikut.

 -34 + 18 + (-21) + 45 + (-16)      Ubah ke bentuk penjumlahan

=  -34 + 18 + (-21) + 45 + (-16)    Kelompokkan sesuai tandanya dan jumlahkan

= -34 + (-21) + (-16) + 18  + 45

= (-71) + 63

= -8

 

Itulah cara menyelesaikan pengurangan bilangan bulat secara ringkas dan sederhana. Nah, bagaimana kalau menyelesaikan operasi hitung campuran penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat? Oke, kita masuk ke bagian c berikut ini.

 C. Operasi Penjumlahan dan Pengurangan

Langkah-langkah menyelesaikan operasi penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat semudah menyelesaikan penjumlahan dan pengurangan beruntun. Jika kamu sudah menguasai kedua pengerjaan di atas, maka mengerjakan operasi hitung ini juga lebih mudah.

Perhatikan contoh berikut.

-11 + (-6) - (-15) + (-9)

= -11 + (-6) + 15 + (-9)

= -11 + (-6) + (-9)+ 15

= -26 + 15

= - 11

Perhatikan lagi..

23 - (-16) + (-8) - 31 - (-17)

= 23 + 16 + (-8) + (-31) + 17

= 23 + 16 + 17 + (-8) + (-31)

= 56 + (-39)

= 17

Demikianlah sekilas materi tentang penjumlahan dan pengurangan biangan bulat. Selanjutnya nanti akan dibahas tentang perkalian dan pembagian bilangan bulat.

Salam Sukses

Perkalian dan Pembagian Bilangan Bulat _ Matematika SD

 

Perkalian dan Pembagian Bilangan Bulat

 

Setelah mempelajari penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat, mari melakukan operasi perkalian dan pembagian bilangan bulat. Jika kalian sudah bisa mengalikan dan membagi bilangan cacah, maka dalam materi ini kalian juga akan merasa mudah dalam mengalikan dan membagi bilangan bulat.

Perlu diperhatikan dalam operasi hitung ini adalah pada tanda minus/negatif (-) dari setiap bilangan yang di operasikan.

Beberapa aturan yang digunakan dalam mengali dan membagi sebagai berikut.

1. Perkalian Bilangan Bulat

Jika kita tahu 2 × 3 = 6

Berapakah hasil (-2) × 3 ?

Berapakah hasil 2 × (-3) ?

Berapakah hasil (-2) × (-3)?

 

Jika kita tahu 5 × 7 = 35

Berapakah hasil (-5) × 7 ?

Berapakah hasil 5 × (-7) ?

Berapakah hasil (-5) × (-7)?

 

Dalam perkalian dua bilangan bulat, hasil perkalian berupa tandanya dapat dilihat di bawah ini.

 

Bil. 1	operasi	Bil.2	Hasil
(+)	×	(+)	(+)
(+)	×	(-)	(-)
(-)	×	(+)	(-)
(-)	×	(-)	(+)

 

Contoh :

1.     (-5) × 7 = -35

2.     (-9) × (-6) = 54

3.     7 × (-8) = -56

4.     (-15) × (-8) × 4 = 120 × 4 = 480               (urut dari depan)

5.     (-8) × 25 × (-9) = -400 × (-9) = 360          (urut dari depan)

6.     (-7) × (-12) × (-20) = 84 × (-20) = -1.680 (urut dari depan)

 

 

2. Pembagian Bilangan Bulat

Jika kita tahu  18 : 2 = 9

Berapakah hasil (-18) : 2 ?

Berapakah hasil 18 : (-2) ?

Berapakah hasil (-18) : (-2)?

 

Jika kita tahu 35 : 5  = 7

Berapakah hasil (-35) : 7 ?

Berapakah hasil 35 : (-7) ?

Berapakah hasil (-35) : (-7)?

 

Dalam pembagian dua bilangan bulat, hasil pembagian berupa tandanya dapat dilihat di bawah ini.

 

Bil. 1	operasi	Bil.2	Hasil
(+)	:	(+)	(+)
(+)	:	(-)	(-)
(-)	:	(+)	(-)
(-)	:	(-)	(+)

 

Contoh :

1.     (-56) : 8 = -7

2.     -63 : (-9) = 7

3.     100 : (-25) = -4

4.     (-120) : (-8) : 3 = 15 : 3 = 5                 (urut dari depan)

5.     (-300) : 25 : (-4) = -12 : (-4) = 3          (urut dari depan)

6.     (-720)  : (-8) : (-15) = 90 : (-15) = -6   (urut dari depan)

 

3. Perkalian dan Pembagian Bilangan Bulat

Dalam perkalian dan pembagian bilangan bulat disini adalah operasi melibatkan perkalian dan pembagian sekaligus. Dalam operasi ini urutan pengerjaannya sebagai berikut.

a. Pengerjan dalam kurung

b.  Urutan dari depan apabila tidak ad tanda kurung.

Perhatikan contoh

1. -48 : (-12) × 5 = 4 × 5 = 20                  (urut dari depan)

2. -80  × 9 : (-15) = -720 : (-15) = 48        (urut dari depan)

3. 120 : ((-8) × 5) = 120 : (-40) = -3          (tanda kurung dahulu)

4. -56 × (-9) : (-24) = 504 : (-24)  = -21     (urut dari depan)

5. (-12 × (-15)) : (72 : (-4))

    = 180 : (-18)                   (Tanda kurung dahulu)

    = -10

 

Demikianlah sekilas materi tentang perkalian dan pembagian bilangan bulat.

Semoga bermanfaat.

MENGHITUNG LUAS DAERAH YANG DIBATASI KURVA DAN GARIS SUMBU MENGGUNAKAN INTEGRAL

Ada beberapa hal yang harus kita pelajari terlebih dahulu sebelum mulai mempelajari materi tentang menghitung luas daerah menggunakan integral ini; salah satunya adalah membuat grafik fungsi. Jenis grafik atau kurva yang biasanya dihitung luasnya adalah grafik fungsi linear, yang terdiri dari garis atau parabola, dan grafik fungsi kuadrat, yang terkadang juga melibatkan grafik dengan fungsi selain linear dan kuadrat. Untuk menggambar kurvanya, turunan dapat digunakan untuk menentukan titik puncak atau titik lain.

 

Cara Menghitung Luas Daerah Menggunakan Integral sebenarnya dibagi menjadi dua secara garis besarnya yaitu luas daerah dengan batas ada di sumbu X dan luas daerah yang batasnya ada pada sumbu Y. Kemudian untuk masing-masing baik batas di sumbu X maupun sumbu Y dibagi lagi menjadi beberapa bagian. 

Misalnya sebagai berikut.

1. Menghitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = ax² + bx + c dan sumbu X.

2. Menghitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = ax² + bx + c, garis x = h, garis x = k, dan sumbu X.

3. Menghitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = ay² + by + c dan sumbu Y.

4. Menghitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = ay² + by + c, garis y = m, garis y = n, dan sumbu Y.

 

Secara umum untuk rumus-rumus dalam mencari luas daerah dapat digambarkan sebagai berikut.

Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh berikut.

Contoh 1

Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = -x² + 5x - 4 dan sumbu X.

Jawaban:

Daerah yang dibatasi oleh kurva y = -x² + 5x - 4 dan sumbu X digambarkan sebagai berikut.

Jadi, luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = -x² + 5x - 4 dan sumbu X adalah 4 1/2 satuan luas.

 

Contoh 2

Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = -x² + 3x + 1, garis x = 0, garis x = 2, dan sumbu X.

Jawaban:

Daerah yang dibatasi oleh kurva y = -x² + 3x + 1, garis x = 0, garis x = 2, dan sumbu X digambarkan sebagai berikut.

Luas daerah dapat dihitung menggunakan integral berikut.

Jadi, luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = -x² + 3x + 1, garis x = 0, garis x = 2, dan sumbu X adalah 1 1/3   satuan luas.

 

Contoh 3

Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x² - 4x + 5, garis x = 1, garis x = 3, dan sumbu X.

Jawaban:

Daerah yang dibatasi kurva y = x² - 4x + 5, garis x = 1, garis x = 3, dan sumbu X digambarkan sebagai berikut.

Luas daerah dapat dihitung menggunakan integral berikut.

Jadi, luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x² - 4x + 5, garis x = 1, garis x = 3, dan sumbu X adalah  2 2/3 satuan  luas.

 

Contoh 4

Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x³ - 2x + 3, garis x = -1, garis x = 1, dan sumbu X.

Jawaban:

Daerah yang dibatasi kurva y = x³ - 2x + 3, garis x = -1, garis x = 1, dan sumbu X digambarkan sebagai berikut.

Luas daerah dapat dihitung menggunakan integral berikut.

Jadi, luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x³ - 2x + 3, garis x = -1, garis x = 1, dan sumbu X adalah 6 satuan  luas.

 

Demikianlah sekilas tentang cara menghitung luas daerah di bawah kurva dan dibatasi oleh garis lain. Masih banyak penggunaan integral dalam menyelesaikan masalah geometri, misalnya menghitung volume benda putar dan menghitung panjang busur.

Semoga bermanfaat.