Cara Mudah Menentukan Daerah Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (Pengantar Program Linear)

Hai sobat I-Math, kali ini akan kami berikan penjelasan cara menentukan daerah penyelesaian. Materi ini merupakan salah satu dasar ketika akan belajar tentang program linear. Sewaktu belajar di SMP pernah diajarkan tentang sistem persamaan linear dua variabel. Nah, kalau di SMA dikembangkan materinya ke dalam sistem pertidksamaan liner dua variabel. Perbedaannya hanya kata "persamaan" dan "pertidaksamaan". Namun demikian, dengan perbedaan ini langkah-langkah penyelesaiannya juga berbeda.

Contoh bentuk sistem pertidaksamaan linear dua variabel (SPtLDV).

Perlu diingat bahwa penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel bisa berbentuk daerah penyelesaian. Dengan demikian, penyelesaiannya dapat digambarkan ke dalam bentuk diagram kartesius.

Pada kesempatan ini, akan kami berikan cara menyelesaikan sistem pertidaksamaan linear dua variabel dengan menggambar pada diagram kartesius. Perlu diperhatikan juga bahwa daerah penyelesaian yang diberikan di gambar nanti adalah daerah yang diarsir.  Jadi, kesepakatan di sini, Daerah Penyelesaian (DP) adalah daerah yang diarsir.

 

Nah, bagaimana cara menyelesaikan sistem pertidaksamaan linear dua variabel?

Mari simak tiga contoh berikut.

 

Contoh 1

Tentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan berikut.

Jawaban:

Dalam menentukan daerah penyelesaian sistem petidaksamaan daerah yang diarsir langkah awal kita buat dahulu garis-garis lurus yang membuat sistem pertidaksamaan tersebut.

Pada soal di atas tampak bahwa pertidaksamaannya adalah x + y ≤ 12 dan x + 2y ≤ 18. Maka kita akan membuat garis lurus yang memiliki persamaan x + y = 12 dan x + 2y = 18.

 

Dalam membuat garis lurus lebih mudah ketika menentukan titik-titiknya melalui sumbu X dan sumbu Y.

 

Membuat garis x + y = 12,

 

x + y = 12
x	y	(x, y)
0	12	(0, 12)
12	0	(12, 0)

 

Dengan demikian garis x + y = 12 melalui titik (0, 12) dan (12, 0).

 

Membuat garis x + 2y = 18,

 

x + 2y = 18
x	y	(x, y)
0	9	(0, 9)
18	0	(18, 0)

 

Dengan demikian garis x + 2y = 18 melalui titik (0, 9) dan (18, 0).

 

Langkah selanjutnya menggambar garis tersebut ke diagram kartesius.

 

Oleh Karena pertidaksamaannya kurang dari, maka daerah penyelesaianya di kiri garis. Perhatikan gambar berikut.

Dari kedua gambar tersebut, gabungkan daerah penyelesaiaannya. Daerah yang terarsir kedua kali merupakan daerah penyelesaian sistem pertidaksamaannya. Ingat juga ada batasan nilai x ≥ 0 dan y ≥ 0.

x ≥ 0 berarti daerah penyelesaiannya di kanan sumbu Y.

y ≥ 0 berarti daerah penyelesaiannya di atas sumbu X.

 

Jadi, daerah penyelesaiannya sebagai berikut.

Contoh 2

Tentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan berikut.

Jawaban:

Dalam menentukan daerah penyelesaian sistem petidaksamaan daerah yang diarsir langkah awal kita buat dahulu garis-garis lurus yang membuat sistem pertidaksamaan tersebut.

Pada soal di atas tampak bahwa pertidaksamaannya adalah 2x + y ≤ 20 dan 2x + 3y ≤ 42. Maka kita akan membuat garis lurus yang memiliki persamaan 2x + y = 20 dan 2x + 3y = 42.

 

Dalam membuat garis lurus lebih mudah ketika menentukan titik-titiknya melalui sumbu X dan sumbu Y.

 

Membuat garis 2x + y = 20

 

2x + y = 20
x	y	(x, y)
0	20	(0, 20)
10	0	(10, 0)

 

Dengan demikian garis 2x + y = 20 melalui titik (0, 20) dan (10, 0).

 

Membuat garis 2x + 3y = 42

 

2x + 3y = 42
x	y	(x, y)
0	14	(0, 14)
21	0	(21, 0)

 

Dengan demikian garis 2x + 3y = 42 melalui titik (0, 14) dan (21, 0).

 

Langkah selanjutnya menggambar garis persamaan linear dua variabel tersebut ke diagram kartesius.

Untuk pertidaksamaannya kurang dari, maka daerah penyelesaiaanya di kiri garis.

Untuk pertidaksamaannya lebih dari, maka daerah penyelesaiaanya di kanan garis

Perhatikan gambar berikut.

Dari kedua gambar tersebut, gabungkan daerah penyelesaiaannya. Daerah yang terarsir kedua kali merupakan daerah penyelesaian sistem pertidaksamaannya. Ingat juga ada batasan nilai x ≥ 0 dan y ≥ 0.

x ≥ 0 berarti daerah penyelesaiannya di kanan sumbu Y.

y ≥ 0 berarti daerah penyelesaiannya di atas sumbu X.

 

Jadi, daerah penyelesaiannya sebagai berikut.

Nah, begitulah cara menentukan daerah penyelesaian dari sistem Pertidaksamaan linear dua variabel.

Semoga bermanfaat.

 

Soal Untuk Latihan

Coba Anda tentukan daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan berikut.

SELAMAT MENCOBA...

Cara Menentukan Persamaan Grafik Fungsi Kuadrat yang Diketahui Titik Puncak dan Salah Satu Titik Lainnya

 

Salah satu bentuk persamaan grafik fungsi kuadrat adalah y = ax² + bx + c. Adapun bentuk kurva fungsi kuadrat berupa parabola.

Perhatikan bentuk kurva fungsi kuadrat y = f(x) di bawah ini.

Tampak bahwa kurva tersebut mempunyai titik puncak. Kurva membuka ke atas ataupun membuka ke bawah.

Sekarang, bagaimana cara menentukan persamaan kurva fungsi kuadrat yang diketahui titik puncak dan salah satu titik yang dilaluinya?

 

Nah, perhatikan rumus cara menentukan persamaan grafik fungsi kuadrat yang siketahui titikpuncak dan salah satu titik yang dilaluinya.

Jika kurva fungsi kuadrat memiliki titik puncak (p, q) dan melalui titik (x₁, y₁) maka persamaan umumnya adalah:

 

     y = a(x – p)² + q

 

Langkah-langkah menentukan persamaan kurva (grafik)  fungsi kuadrat.

1. Substitusikan nilai p dan q pada titik puncak ke persamaan umum.

2. Menentukan nilai a dengan mensubstitusikan nilai x = x1 dan y = y1 pada persamaan yang diperoleh pada langkah 1.

3. Diperoleh persamaan grafik fungsi kuadrat.

 

Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh berikut.

 

Contoh 1

Tentukan persamaan kurva atau grafik fungsi kuadrat yang melalui titik (1, 0) dan memiliki titik puncak (3, 8).

Jawaban:

Persamaan kurva:

     y = a(x – p)² + q

Substitusikan (3, 8) ke persamaan sehingga menjadi:

y = a(x – 3)² + 8

Untuk menentukan nilai a, substitusikan (1, 0) sebagai nilai x dan y ke persamaan tersebut.

0 = a(1 – 3)² + 8

0 = a × 4 + 8

0 = 4a + 8

4a = -8

  a = -2

Dengan demikian diperoleh persamaan:

y = (-2)(x – 3)² + 8

y = (-2)(x² – 6x + 9) + 8

y = -2x² + 12x - 18 + 8

y = -2x² + 12x - 10

 

Jadi, persamaan kurva fungsi kuadrat adalah y = -2x² + 12x - 10.

 

Contoh 2

Tentukan persamaan kurva atau grafik fungsi kuadrat yang melalui titik (2, 1) dan memiliki titik puncak (4, 17).

Jawaban:

Persamaan kurva:

     y = a(x – p)² + q

Substitusikan (4, 17) ke persamaan sehingga menjadi:

y = a(x – 4)² + 17

Untuk menentukan nilai a, substitusikan (2, 1) sebagai nilai x dan y ke persamaan tersebut.

1 = a(2 – 4)² + 17

1 = a × 4 + 17

1 = 4a + 17

4a = -16

  a = -4

Dengan demikian diperoleh persamaan:

y = (-4)(x – 4)² + 17

y = (-4)(x² – 8x + 16) + 17

y = -4x² + 32x - 64 + 17

y = -4x² + 32x - 47

Jadi, persamaan kurva fungsi kuadrat adalah y = -4x² + 32x - 47.

 

Contoh 3

Tentukan persamaan kurva atau grafik fungsi kuadrat yang memiliki titik puncak (3, -21) dan melalui titik (-2, 4) dan

Jawaban:

Persamaan kurva:

     y = a(x – p)² + q

Substitusikan (3, 21) ke persamaan sehingga menjadi:

y = a(x – 3)² - 21

Untuk menentukan nilai a, substitusikan (-2, 4) sebagai nilai x dan y ke persamaan tersebut.

4 = a(–2 – 3)² – 21

4 = a × 25 – 21

4 = 25a – 21

25a = 25

  a = 1

Dengan demikian diperoleh persamaan:

y = (1)(x – 3)² – 21

y = (x² – 6x + 9) – 21

y = x² – 6x + 9 – 21

y = x² – 6x  – 12

 

Jadi, persamaan kurva fungsi kuadrat adalah y = x² – 6x  – 12.

 

Demikianlah sekilas materi tentang cara menentukan persamaan kurva atau grafik fungsi kuadrat yang diketahui titik puncak dan melalui salah satu titik lainnya.

Semoga Bermanfaat.

Bahas Soal UJIAN SEKOLAH DAN UJIAN NASIONAL SMP/MTS Materi Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Sistem persamaan linear dua variabel merupakan materi yang menarik untuk dipelajari. Materi ni banyak diterapkan dalam kehodupan sehari-hari. Sehingga banyak soal cerita yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dua variabel. Sistem persamaan linear dua variabel banyak keluar dalam soal-soal ujian sekolah maupun soal ujian nasional.

Karena pentingnya materi sistem persamaan linear dua variabel ini, maka akan kami berikan beberapa contoh soal dan pembahasan sistem persamaan linear dua variabel.

Dengan beberapa contoh soal ini semoga menjadikan Anda paham tentang sistem persamaan linear dua variabel.

Perlu diketahui bahwa untuk menyelesaiakan soal sistem persamaan linear dua variabel ini menggunakan 4 metode, antara lain metode eliminasi, metode substitusi, metode gabungan eliminasi-substitusi, dan metode grafik.

Namun demikian, tergantun Anda mau memilih yang mana dan mudah dilakukan.

 

Yuk, perhatikan beberapa contoh soal dan pembahasan sistem persamaan linear dua variabel berikut.

 

Soal 1.

Diketahui x dan y merupakan penyelesaian sistem persamaan 2x - 3y = -17 dan 3x + 2y = -6. Nilai dari x + y adalah . . . . (Soal Ujian Nasional)

A.   -7

B.   -1

C.   1

D.   7

Jawaban: B

Mari kita coba menggunakan metode eliminasi.

2x - 3y = -17 .... (1)

3x + 2y = -6  .... (2)

Mengeliminasi y dengan mengalikan persamaan (1) dengan 2 dan persamaan (2) dengan 3.

2x - 3y = -17    (x2)    4x - 6y = -34

3x + 2y = -6  ...(x3)    9x + 6y = -18  +

                                        13x = -52

                                            x = -4

 

Selanjutnya, mengeliminasi x dengan mengalikan persamaan (1) dengan 3 dan persamaan (2) dengan 2.

2x - 3y = -17    (x3)    6x - 9y = -51

3x + 2y = -6  ...(x2)    6x + 4y = -12  -

                                        -13y = -39

                                            y = 3

Diperoleh x = -4 dan y = 3.

x + y = -4 + 3 = -1

Jadi, nilai x + y adalah -1.

 

Soal 2.

Penyelesaian dari sistem persamaan 2x - 5y = -16 dan 5x + 2y = -11 adalah x dan y. Nilai dari 7x - 8y adalah . . . . (Soal Ujian Nasional)

A.   -37

B.   -5

C.   5

D.   37

Jawaban: A

Untuk soal ini mari kita coba menggunakan metode eliminasi-substitusi.

2x - 5y = -16 .... (1)

5x + 2y = -11  .... (2)

Mengeliminasi y dengan mengalikan persamaan (1) dengan 2 dan persamaan (2) dengan 5.

2x - 5y = -16    (x2)    4x - 10y = -32

5x + 2y = -11   (x5)   25x + 10y = -55  +

                                        29x = -87

                                            x = -3

 

Selanjutnya, substitusikan x = -3 ke salah satu persamaan.

Di sini akan disubstitusikan ke persamaan (1)

2x - 5y = -16

2(-3) - 5y = -16

    -6 - 5y = -16

         -5y = -16 + 6

         -5y = -10

            y = 2

7x - 8y = 7(-3) - 8(2) = -21 - 16 = -37

Jadi, nilai 7x - 8y adalah -37.

 

Soal 3.

Seorang tukkang parkir mendapat uang sebesar Rp17.000,00 dari 3 buah mobil dan 5 buah sepeda  motor. Sedangkan 4 buah mobil dan 2 buah sepeda motor ia mendapat uang Rp18.000,00. Jika terdapat 20 buah mobil dan 30 motor, banyak uang parkir yang ia peroleh adalah . . . . (Soal Ujian Nasional)

A.   Rp135.000,00

B.   Rp115.000,00

C.   Rp110.000,00

D.   Rp100.000,00

Jawaban: C

Untuk soal ini mari kita coba menggunakan metode eliminasi-substitusi.

MIsalkan x = biaya parkir sebuah mobil dan y = biaya parkir sebuah sepeda motor

Model sistem persamaan

3x + 5y = 17.000 .... (1)

4x + 2y = 18.000  .... (2)

Mengeliminasi y dengan mengalikan persamaan (1) dengan 2 dan persamaan (2) dengan 5.

3x + 5y = 17.000   (x2)    6x + 10y = 34.000

4x + 2y = 18.000   (x5)   20x + 10y = 90.000  -

                                        -14x = -56.000

                                            x = 4.000

 

Selanjutnya, substitusikan x = 4.000 ke salah satu persamaan.

Di sini akan disubstitusikan ke persamaan (1)

             3x + 5y = 17.000

   3(4.000) + 5y = 17.000

     12.000 + 5y = 17.000

                    5y = 17.000 - 12.000

                    5y = 5.000

                      y = 1.000

20 buah mobil dan 30 motor

= 20x + 30y

= 20(4.000) + 30(1.000)

= 80.000 + 30.000

= 110.000

Jadi, banyak uang parkir yang diperoleh sebesar Rp110.000,00.

 

Soal 4.

Harga satu ikat bayam sama dengan harga dua ikat kangkung. Bu Aminh membeli 20 ikat bayam dan 50 ikat kangkung seharga Rp225.000,00. Bu Aisyah membeli 25 ikat bayam dan 60 ikat kangkung. Harga yang harus dibayar Bu Aisyah adalah . . . . (Soal Ujian Nasional)

A.   Rp220.000,00

B.   Rp275.000,00

C.   Rp290.000,00

D.   Rp362.500,00

Jawaban: B

Untuk soal ini mari kita coba menggunakan metode substitusi.

MIsalkan x = harga satu ikat bayam dan y = harga satu ikat kangkung

Model sistem persamaan

x = 2y .... (1)

20x + 50y = 225.000  atau 2x + 5y = 22.500  ...(2)

Substitusi persamaan (1) ke persamaan (2).

2x + 5y = 22.500

2(2y) + 5y = 22.500

    4y + 5y = 22.500

            9y = 22.500

              y = 2.500

Sehingga x = 2(2.500) = 5.000

Harga 25 ikat bayam dan 60 ikat kangkung

= 25(5.000) + 60(2.500)

= 125.000 + 150.000

= 275.000

Jadi, harga yang harus dibayar Bu Aisyah sebesar Rp275.000,00.

 

Soal 5.

Harga 2 tas sama dengan harga 5 pasang sepatu. Harga 4 tas dan sepasang sepatu adalah Rp1.100.000,00. Jumlah uang yang harus dibayar Rika untuk membeli 3 tas dan 2 pasang sepatu adalah . . . . (Soal Ujian Nasional)

A.   Rp250.000,00

B.   Rp800.000,00

C.   Rp950.000,00

D.   Rp1.350.000,00

Jawaban: C

Untuk soal ini mari kita coba menggunakan metode substitusi.

Misalkan x = harga satu tas dan y = harga sepasang sepatu

Model sistem persamaan

2x = 5y .... (1)

4x + y = 1.100.000  ... (2)

Substitusi persamaan (1) ke persamaan (2).

4x + y = 1.100.000

2(2x) + y = 1.100.000

2(5y) + y = 1.100.000

  10y + y = 1.100.000

        11y = 1.100.000

           y = 100.000

Substitusikan y = 100.000 ke persamaan (1)

2x = 5y

2x = 5(100.000)

2x = 500.000

  x = 250.000

 

Harga 3 tas dan 2 pasang sepatu

= 3(x) + 2(y)

= 3(250.000) + 2(100.000)

= 750.000 + 200.000

= 950.000

Jadi, harga yang harus dibayar Rika sebesar Rp950.000,00.

 

Demikianlah sekilas bahas soal ulangan untuk persiapan ujian sekolah tentang sistem persamaan linear dua variabel.

Semoga Bermanfaat.