BEGINI CARANYA : Menentukan KPK dan FPB pada Bentuk Aljabar (Matematika SMP/MTs)

 Pada kesempatan ini akan kita bahas tentang cara menentukan Kelipayan Persekutuan Terkecil (KPK) dan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari bentuk-bentuk aljabar. Dalam menentukan KPK dan FPB bentuk aljabar ini caranya tidak terlalu jauh berbeda dengan cara menentukan KPK dan FPB dalam bilangan.

Seperti pada menentukan KPK dan FPB beberapa bilangan,langkah pertama yang haris dilakukan adalah memfaktorkan bentuk-bentuk aljabar tersebut. Memfaktorkan disini adalah mengubah ke bentuk perkalian bilangan prima dan variabel-variabelnya.

Perhatikan contoh memfaktorkan di bawah ini.

20pq = 2² × 5 × p × q

18a²bc³ = 2 × 3² × a² × b × c²

75p⁴q²r⁵ = 3 × 5² × p⁴ × q² × r⁵

Setelah Anda bisa memfaktorkan, maka untuk menentukan KPK dan FPB dapat Anda lakukan dengan mudah.

 

Langkah-langkah menentukan KPK dari dua atau lebih bentuk aljabar.

1. Faktorkan setiap bentuk aljabar.

2. Pilihlah bilangan-bilangan dan variabel-variabel pembentuknya.

Jika terdapat bilangan yang sama, pilihlah bilangan yang memiliki pangkat tinggi.

Jika terdapat variabel yang sama, pilihlah variabel yang memiliki pangkat tinggi.

3. Kalikan semua bilangan dan variabel berpangkat tersebut.

 

Langkah-langkah menentukan FPB dari dua atau lebih bentuk aljabar.

1. Faktorkan setiap bentuk aljabar.

2. Pilihlah bilangan-bilangan dan variabel-variabel yang dimiliki kedua/lebih bentuk aljabar tersebut.

Jika terdapat bilangan yang sama, pilihlah bilangan yang memiliki pangkat rendah.

Jika terdapat variabel yang sama, pilihlah variabel yang memiliki pangkat rendah.

3. Kalikan semua bilangan dan variabel berpangkat yang terpilih tersebut.

 

Untuk lebih jelasnya , perhatikan beberapa contoh berikut.

 

Contoh 1

Tentukan KPK dari bentuk 20ab³c⁵ dan 25 a²bc³.

Jawaban:

Memfaktorkan bentuk aljabar.

20ab³c⁵   = 2² × 5 × a × b³ × c⁵

25 a²bc³  =      5² × a² × b × c³

KPK       = 2² × 5² × a² × b³ × c⁵      (Dipilih bilangan/variabel  berpangkat tinggi)

             = 4 × 25 × a² × b³ × c⁵

             = 100 a²b³c⁵

Jadi, KPK dari 20ab³c⁵ dan 25 a²bc³ adalah 100 a²b³c⁵.

 

 

Contoh 2

Tentukan KPK dari bentuk 12p³q²r dan 40 pq⁴r³.

Jawaban:

Memfaktorkan bentuk aljabar.

12p³q²r  = 2² × 3 × p³ × q² × r

40 pq⁴r³ = 2³ × 5 × p  × q⁴ × r³

KPK       = 2³ × 3 × 5 × p³ × q⁴ × r³      (Dipilih bilangan/variabel  berpangkat tinggi)

             = 8 × 3 × 5 × p³ × q⁴ × r³ 

             = 120 p³q⁴r³

Jadi, KPK dari 12p³q²r dan 40 pq⁴r³ adalah 120 p³q⁴r³.

 

 

Contoh 3

Tentukan KPK dari bentuk 10a²b³c, 15 ab⁵c² dan 24a²b³c⁴.

Jawaban:

Memfaktorkan bentuk aljabar.

10a²b³c   = 2 × 5 × a² × b³ × c

15 ab⁵c²  = 3 × 5 × a × b⁵ × c²

24a²b³c⁴  = 2³ × 3 × a² × b³ × c⁴

KPK       = 2³ × 3 × 5 × a² × b⁵ × c⁴     (Dipilih bilangan/variabel  berpangkat tinggi)

             = 8 × 3 × 5 × a² × b⁵ × c⁴ 

             = 120 a²b⁵c⁴

Jadi, KPK dari 10a²b³c, 15 ab⁵c² dan 24a²b³c⁴  adalah 120 a²b⁵c⁴.

 

 

Contoh 4

Tentukan FPB dari bentuk 48a²b³c⁵ dan 60a²b⁵c⁴.

Jawaban:

Memfaktorkan bentuk aljabar.

48a²b³c⁵   = 2⁴ × 3 × a² × b³ × c⁵

60a²b⁵c⁴  =  2² × 3 × 5 × a² × b⁵ × c⁴

FPB       = 2² × 3 × a² × b³ × c⁴      (Pilih bilangan/variabel sama dan berpangkat rendah)

             = 12 × a² × b³ × c⁴

             = 12 a²b³c⁴

Jadi, FPB dari bentuk 48a²b³c⁵ dan 60a²b⁵c⁴   adalah 12 a²b³c⁴.

 

 

Contoh 5

Tentukan FPB dari bentuk 120pq³r⁴ dan 108p²q⁶r³.

Jawaban:

Memfaktorkan bentuk aljabar.

120pq³r⁴   = 2³ × 3 × 5 × p × q³ × r⁴

108p²q⁶r³  = 2³ × 3²   × p² × q⁶ × r³

FPB       = 2³ × 3 × p × q³ × r³      (Pilih bilangan/variabel sama dan berpangkat tinggi)

             = 8 × 3 × p × q³ × r³

             = 24pq³r³

Jadi, FPB dari bentuk 120pq³r⁴ dan 108p²q⁶r³  adalah 24pq³r³.

 

 

Contoh 6

Tentukan FPB dari bentuk 90x³y⁴z² , 75x²y²z⁶ , dan 135x⁸yz⁴.

Jawaban:

Memfaktorkan bentuk aljabar.

90x³y⁴z²   = 2 × 3² × 5 × x³ × y⁴ × z²

75x²y²z⁶   = 3 × 5²      × x² × y² × z⁶

135x⁸yz⁴  = 3³ × 5       × x⁸ × y × z⁴

FPB       = 3 × 5 × x² × y × z²      (Pilih bilangan/variabel sama dan berpangkat rendah)

             = 15 × x² × y × z²

             = 15 x²yz²

Jadi, FPB dari bentuk 90x³y⁴z² , 75x²y²z⁶ , dan 135x⁸yz⁴  adalah 15 x²yz².

 

Demikianlah sekilas materi tentang cara menentukan KPK dan FPB bentuk aljabar.

Semoga bermanfaat.

TRIGONOMETRY: THE RULE OF COSINES IN TRIANGLES

Law of Cosines

The law of cosines relates the lengths of the sides of a triangle to the cosine of one of its angles. Using trigonometry, we can now obtain values of distances and angles which cannot be measured otherwise. The law of cosines finds application while computing the third side of a triangle given two sides and their enclosed angle, and for computing the angles of a triangle if all three sides are known to us.

 

A triangle has 6 elements (3 sides + 3 angles). Let us understand the law of the cosines formula and its derivation to study the inter-relationship of these elements using the cosine function.

 

What is Law of Cosines?

The law of cosine helps in establishing a relationship between the lengths of sides of a triangle and the cosine of its angles. The cosine law in trigonometry generalizes the Pythagoras theorem, which applies to a right triangle.

 

Law of Cosines: Definition

Statement: The law of cosine states that the square of any one side of a triangle is equal to the difference between the sum of squares of the other two sides and double the product of other sides and cosine angle included between them.

Let a, b, and c be the lengths of the three sides of a triangle and A, B, and C be the three angles of the triangle. Then, the law of cosine states that: a2 = b2 + c2 − 2bc·cosA. As stated above, the law of cosines in trigonometry generalizes the Pythagorean theorem. If you plug 90º for the angle in one of the rules, what will happen? Since cos 90º = 0, we are left with the Pythagoras theorem.

The law of cosine is also known as the cosine rule. This law is useful to find the missing information in any triangle. For example, if you know the lengths of two sides of a triangle and an angle included between them, this rule helps to find the third side of the triangle. Let us check out different cosine law formulas and the method to find these missing parameters in the following sections.

 

Law of Cosines Formula

The law of cosines formula can be used to find the missing side of a triangle when its two sides and the included angle is given i.e., it is used in the case of a SAS triangle. We know that if A, B, and C are the vertices of a triangle, then their opposite sides are represented by the small letters a, b, and c respectively. The law of cosines formula is used to:

 

1. find a when b, c, and A are given (or)

2. find b when a, c, and B are given (or)

3. find c when a, b, and C are given (or)

4. find any angle of the triangle when a, b, and c are given.

There are three laws of cosines and we choose one of them to solve our problems depending on the available data.

a² = b² + c² - 2bc·cos A

b² = c² + a² - 2ac·cos B

c² = a² + b² - 2ab·cos C

 

For more details, pay attention to the following examples.

 

Question 1

It is known that triangle ABC has sides AB = 6 cm, AC = 4 cm and angle BAC = 60o. Find the length of side BC.

Answer :

Triangle ABC can be described as follows. 

To determine the length of BC use the following formula.

BC² = AB² + AC² - 2AB · AC · cos A

BC² = 6² + 4² - 2 · 6 · 4 · cos 60^o

       = 36 + 16 - 48 · (1/2)

       = 52 - 24

       = 28

BC =   =  

So, the length of side BC is  cm.

 

Question 2

It is known that triangle ABC has side lengths AB = 6 cm, AC = 5 and BC = 4 cm. Determine the angle BCA.

Answer :

Triangle ABC can be described as follows.

To determine the angle BCA we use the following formula.

AB² = AC² + BC² - 2AC · BC · cos BCA

6² = 5² + 4² - 2 · 5 · 4 · cos BCA

36 = 25 + 16 - 40 · cos BCA

36 = 41 - 40 · cos BCA

   40 · cos BCA = 41 - 36

   40 · cos BCA = 5

          cos BCA = 5/40

          cos BCA = 1/8

          cos BCA = 0.125

             ÐBCA = arc cos 0,125

                         = 82,81^o

So, the measure of angle BCA is 82,81^o. 

TRIGONOMETRI : ATURAN KOSINUS _ DISERTAI CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN ATURAN KOSINUS

 

Aturan Kosinus

Aturan kosinus menghubungkan panjang sisi-sisi segitiga dengan kosinus salah satu sudutnya. Dengan menggunakan trigonometri, kita sekarang dapat memperoleh nilai jarak dan sudut yang tidak dapat diukur dengan cara lain. Aturan kosinus dapat diterapkan saat menghitung sisi ketiga segitiga jika diketahui dua sisi dan sudut tertutupnya. Selain itu, juga dapat untuk menghitung sudut-sudut segitiga jika ketiga sisinya diketahui.

 

Kita tahu bahwa segitiga memiliki 6 elemen (3 sisi + 3 sudut). Mari kita pahami rumus aturan kosinus dan turunannya untuk mempelajari hubungan timbal balik unsur-unsur ini menggunakan fungsi kosinus.

 

Apa itu Aturan Kosinus?

Aturan kosinus membantu dalam menetapkan hubungan antara panjang sisi-sisi segitiga dan kosinus sudut-sudutnya. Aturan kosinus dalam trigonometri menggeneralisasi teorema Pythagoras, yang berlaku untuk segitiga siku-siku.

 

Aturan Kosinus: Definisi

Perhatikan pernyataan berikut:

Aturan kosinus menyatakan bahwa kuadrat salah satu sisi segitiga sama dengan selisih antara jumlah kuadrat kedua sisi lainnya dengan dua kali hasil kali sisi lainnya yang dikalikan dengan nilai kosinus sudut yang terdapat di antara keduanya.

 

Misalkan a, b, dan c adalah panjang ketiga sisi segitiga dan A, B, dan C adalah ketiga sudut segitiga tersebut.

Maka, aturan kosinus menyatakan bahwa a² = b² + c² − 2bc·cos A.

Seperti yang dinyatakan di atas, aturan kosinus dalam trigonometri menggeneralisasi teorema Pythagoras. Jika Anda memasukkan 90º untuk sudut dalam salah satu aturan, apa yang akan terjadi? Karena cos 90º = 0, kita akan mendapatkan teorema Pythagoras.

 

Aturan kosinus ini berguna untuk menemukan informasi yang hilang dalam segitiga mana pun. Misalnya, jika Anda mengetahui panjang dua sisi segitiga dan sudut yang termasuk di antara keduanya, aturan ini membantu menemukan sisi ketiga segitiga tersebut. Mari kita lihat berbagai rumus aturan kosinus dan metode untuk menemukan parameter yang hilang ini di bagian berikut.

 

Rumus Aturan Kosinus

Rumus aturan kosinus dapat digunakan untuk menemukan sisi segitiga yang hilang ketika dua sisinya dan sudut yang termasuk diberikan, yaitu, digunakan dalam kasus segitiga SAS. Kita tahu bahwa jika A, B, dan C adalah titik sudut segitiga, maka sisi-sisi yang berlawanan masing-masing diwakili oleh huruf kecil a, b, dan c. Rumus aturan kosinus digunakan sebagai berikut.

1. Menemukan a ketika b, c, dan A diberikan (atau),

2. Menemukan b ketika a, c, dan B diberikan (atau),

3. Menemukan c ketika a, b, dan C diberikan (atau),

4. Menemukan sembarang sudut segitiga ketika a, b, dan c diberikan.

Ada tiga aturan kosinus dan kita bisa memilih salah satunya untuk menyelesaikan masalah kita tergantung pada data yang tersedia.

Rumus Aturan Kosinus:

a² = b² + c² - 2bc·cos A

b² = c² + a² - 2ac·cos B

c² = a² + b² - 2ab·cos C

 

Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa conton berikut.

 

Soal 1

Diketahui segitiga ABC memiliki panjang sisi AB = 6 cm, AC = 4 cm dan sudut BAC = 60^o. Hitunglah panjang sisi BC.

Jawaban :

Segitiga ABC dapat digambarkan sebagai berikut.

Untuk menentukan panjang BC kita gunakan rumus berikut.

BC² = AB² + AC² - 2AB · AC · cos A

BC² = 6² + 4² - 2 · 6 · 4 · cos 60^o

       = 36 + 16 - 48 · (1/2)

       = 52 - 24

       = 28

BC =  =  

Jadi, panjang sisi BC adalah  cm.

 

Soal 2

Diketahui segitiga ABC memiliki panjang sisi AB = 6 cm, AC = 5 dan BC = 4 cm. Tentukan besar sudut BCA.

Jawaban :

Segitiga ABC dapat digambarkan sebagai berikut.

Untuk menentukan besar sudut BCA kita gunakan rumus berikut.

AB² = AC² + BC² - 2AC · BC · cos BCA

6² = 5² + 4² - 2 · 5 · 4 · cos BCA

36 = 25 + 16 - 40 · cos BCA

36 = 41 - 40 · cos BCA

   40 · cos BCA = 41 - 36

   40 · cos BCA = 5

          cos BCA = 5/40

          cos BCA = 1/8

          cos BCA = 0.125

             ÐBCA = arc cos 0,125

                         = 82,81^o

Jadi, besar sudut BCA adalah  82,81^o.

 

Demikianlah sekilas materi tentang Aturan Kosinus besarta Contoh Soal dan Jawabannya. Semoga dapat digunakan untuk belajar.

Bahas Soal Ujian Nasional ASLI Matematika SMP/MTs Tentang Perbandingan

 

Dalam kesempatan ini akan kami bahas 1 soal UN Matematika SMP yang pernah keluar pada tahun 2021. Ini soal yang keluar di Ujian Nasional pada waktu itu. Materi soal ini masuk dalam Bab Perbandingan.

Soal:

Seorang pemborong mampu menyelesaikan pekerjaannya selama 49 hari dengan 64 pekerja. Karena suatu hal, pekerjaan itu harus selesai dalam waktu 28 hari. Banyak pekerja yang ditambahkan adalah ....

A.  38 pekerja

B.  48 pekerja

C.  102 pekerja

D.  112 pekerja

 

Jawaban: B

Perbandingan yang digunakan untuk menyelesaikan soal di atas adalah perbandingan berbalik nilai.

Alasannya: Semakin banyak pekerja maka waktu semakin cepat (sedikit)

Pada perbandingan berbalik nilai berlaku rumus seperti berikut.

n₁ = banyak pekerja pertama (mula-mula)

n₂ = banyak pekerja kedua

t₁ = waktu pekerjaan pertama (mula-mula)

t₂ = waktu pekerjaan kedua

Berdasarkan soal diperoleh:

n₁ = 64 pekerja

n₂ = x pekerja

t₁ = 49 hari

t₂ = 28 hari    (nilai ini sudah termasuk tambahan pekerja)

Setelah itu masukkan nilai di atas ke dalam rumus.

64 ´ 49 = x ´ 28

  64 ´ 7 = x ´ 4   (kedua ruas dibagi 7)

  16 ´ 7 = x ´ 1   (kedua ruas dibagi 4)

  16 ´ 7 = x

           x = 112

Penjelesasan: Untuk menyelesaikan pekerjaan 28 hari maka banyak pekerja 112 orang.

Di awal terdapat 64 pekerja. Agar menjadi 112 pekerja untuk menyelesaikan target, maka diperlukan tambahan : 112  - 64 = 48 pekerja.

Jadi, jawaban yang benar pilihan B.

 

Demikian Pembahasan soal Ujian Nasional tentang Perbandingan, semoga bermanfaat.

 

Bahas Soal Trigonometri : Sin x + cos x = 1/2, tentukan nilai sin^3 x + cos^3 x?

Dalam kesempatan ini akan kami berikan contoh soal dan pembahasan yang menarik berkaitan dengan Trigonometri.

Ada pertanyaan berikut.

Diketahui sin x + cos x= 1/2. Tentukan nilai sin³ x + cos³ x.

Nah sekarang kita jawab pertanyaan tersebut.

Pembahasan:

Dalam trigonometri kita punya unsur identitas trigonometri berikut.

sin² x + cos² x = 1

Nah, jadi untuk menyelesaikan soal di atas yang kita punyai hanya sin x + cos x = 1/2 dan sin² x + cos² x = 1.

Untuk menyelesaikan permasalahan ini sebaiknya kita misalkan aja biar lebih mudah dipahami.

Begini, misalkan p = sin x dan q = cos x.

Nah sehingga persoalannya dapat diubah menjadi begini.

Diketahui p + q = 1/2 dan p² + q² = 1, tentukan nilai p³ + q³.

Oke, sekarang kita kerjakan.

Ingat rumus ini : (p + q)² = p² + 2pq + q²

Dengan yang kita miliki di atas, maka akan menemukan nilai pq.

(p + q)² = p² + q² + 2pq

   (1/2)² = 1 + 2pq

       1/4 = 1 + 2pq

      2pq = 1/4 - 1

      2pq = -3/4

        pq = -3/8

Setela menemukan pq, mari dilanjutkan menentukan p³ dan q³.

p³ + q³ = (p + q)(p² - pq + q²)

            = (p + q)(p² + q² - pq)

            = (1/2) ´ (1 - (-3/8))

            = (1/2) ´ (1 + 3/8)

            = (1/2) ´ (11/8)

            =11/16

Sehingga p³ + q³ = 11/16

Jadi, nilai sin³ x + cos³ x adalah 11/16.

 

Demikian Pembahasan soal tentang Trigonometri, semoga bermanfaat.