Penerapan Barisan dan Deret Aritmetika untuk Menyelesaikan Masalah

 

Penerapan deret aritmetika dalam kehidupan keseharian sangat banyak. Selain itu dalam hal bilangan penggunaan deret aritmetika juga diperlukan. Perlu diketahui bahwa barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang memiliki beda antarsuku selalu sama.

Jika pola barisan bilangan memiliki suku awal a dan beda (Selisih) = b, maka pola bilangan dapat dituliskan sebagai berikut.

 

a, a + b, a + 2b, a + 3b, a + 4b, .......

 

Adapun deret aritmetika adalah jumlah bilangan-bilangan yang membentuk barisan aritmetika. Deret aritmetik dituliskan sebagai berikut.

 

Sn = a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + (a + 4b) + .......+ a + (n – 1)b

 

 

Untuk mempelajari penerapan  tentang barisan dan deret aritmetika, mari  menyelesaikan permasalahan di bawah ini.                     

 

Permasalahan 1

Diketahui jumlah 3 bilangan ganjil berurutan adalah 5.001. Tentukan bilangan-bilangan itu.

Penyelesaian

Ingat bahwa untuk n = 1, 2, 3, 4,.... Bilangan ganjil dapat disimbolkan atau dimisalkan dengan 2n + 1.

Jika terdapat tiga bilangan ganjil berurutan maka dapat dituliskan: 2n + 1, 2n + 3, 2n + 5.

 

Jumlah 3 bilangan ganjil berurutan adalah 5.001.

(2n + 1) + (2n + 3) + (2n + 5) = 5.001

                                 6n + 9 = 5.001

                                       6n = 5.001 – 9

                                       6n = 4.992

                                        n = 4.992 : 6

                                        n = 832

Sehingga diperoleh bilangan-bilangan itu sebagai berikut.

2n + 1 = 2(832) + 1 = 1.664 + 1 = 1.665

2n + 3 = 2(832) + 3 = 1.664 + 3 = 1.667

2n + 5 = 2(832) + 5 = 1.664 + 5 = 1.669

Jadi, ketiga bilangan itu adalah 1.665, 1.667, dan 1.669.

 

Permasalahan 2

Diketahui jumlah 3 bilangan genap berurutan adalah 12.000. Tentukan bilangan-bilangan itu.

Penyelesaian

Ingat bahwa untuk n = 1, 2, 3, 4,.... Bilangan genap dapat disimbolkan atau dimisalkan dengan 2n, atau 2n + 2.

Jika terdapat tiga bilangan genap berurutan maka dapat dituliskan: 2n, 2n + 2, 2n + 4.

 

Jumlah 3 bilangan genap berurutan adalah 12.000.

2n + (2n + 2) + (2n + 4) = 12.000

                         6n + 6 = 12.000

                               6n = 12.000 – 6

                               6n = 11.994

                                 n = 11.994 : 6

                                 n = 1.999

Sehingga diperoleh bilangan-bilangan itu sebagai berikut.

2n = 2(1.999) = 3.998

2n + 2 = 2(1.999) + 2 = 3.998 + 2 = 4.000

2n + 4 = 2(1.999) + 4 = 3.998 + 4 = 4.002

Jadi, ketiga bilangan itu adalah 3.998, 4.000, dan 4.002.

 

 

Permasalahan 3

Diketahui jumlah 5 bilangan ganjil berurutan adalah 9.005. Tentukan bilangan-bilangan itu.

Penyelesaian

Ingat bahwa untuk n = 1, 2, 3, 4,.... Bilangan ganjil dapat disimbolkan atau dimisalkan dengan 2n + 1.

Jika terdapat lima bilangan ganjil berurutan maka dapat dituliskan: 2n + 1, 2n + 3, 2n + 5, 2n + 7, 2n + 9.

 

Jumlah 5 bilangan ganjil berurutan adalah 9.005.

(2n + 1) + (2n + 3) + (2n + 5) + (2n + 7) + (2n + 9) = 9.005

                   10n + 15 = 9.005

                        10n = 9.005 – 15

                        10n = 8.990

                          n = 8.990 : 10

                          n = 899

Sehingga diperoleh bilangan-bilangan itu sebagai berikut.

2n + 1 = 2(899) + 1 = 1.798 + 1 = 1.799

2n + 3 = 2(899) + 3 = 1.798 + 3 = 1.801

2n + 5 = 2(899) + 5 = 1.798 + 5 = 1.803

2n + 7 = 2(899) + 7 = 1.798 + 7 = 1.805

2n + 9 = 2(899) + 9 = 1.798 + 9 = 1.807

 

Jadi, kelima bilangan itu adalah 1.799, 1.801, 1.803, 1.805, dan 1.807.

 

 

Permasalahan 4

Diketahui jumlah 5 bilangan genap berurutan adalah 100.000. Tentukan bilangan-bilangan itu.

Penyelesaian

Ingat bahwa untuk n = 1, 2, 3, 4,.... Bilangan genap dapat disimbolkan atau dimisalkan dengan 2n atau 2n + 2.

Jika terdapat lima bilangan genap berurutan maka dapat dituliskan: 2n, 2n + 2, 2n + 4, 2n + 6, 2n + 8.

 

Jumlah 5 bilangan genap berurutan adalah 100.000.

(2n) + (2n + 2) + (2n + 4) + (2n + 6) + (2n + 8) = 100.000

                   10n + 20 = 100.000

                        10n = 100.000 – 20

                        10n = 99.980

                          n = 99.980 : 10

                          n = 9.998

Sehingga diperoleh bilangan-bilangan itu sebagai berikut.

2n = 2(9.998) = 19.996

2n + 2 = 2(9.998) + 2 = 19.996 + 2 = 19.998

2n + 4 = 2(9.998) + 4 = 19.996 + 4 = 20.000

2n + 6 = 2(9.998) + 6 = 19.996 + 6 = 20.002

2n + 8 = 2(9.998) + 8 = 19.996 + 8 = 20.004

 

Jadi, kelima bilangan itu adalah 19.996, 19.998, 20.000, 20.002, dan 20.004.

 

 

Permasalahan 5

Diketahui panjang tali mula-mula adalah 950 cm. Tali itu akan dipotong menjadi 5 tali dan panjang tali membentuk barisan aritmetika. Tentukan panjang setiap tali jika selisih antartali adalah 5 cm.

Penyelesaian

Permasalahan tentang deret aritmetika dengan jumlah 5 bilangan.

Diketahui Jumlah lima tali (Sn) = 950 dan beda (b) = 5.

Sehingga dapat ditulis:

a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + (a + 4b) = S₅

a + (a + 5) + (a + 2(5)) + (a + 3(5)) + (a + 4(5)) = 950

 

a + (a + 5) + (a + 10) + (a + 15) + (a + 20) = 950

      5a + 50 = 950

             5a = 950 – 50

             5a = 900

               a = 900 : 5

               a = 180

Sehingga diperoleh bilangan-bilangan itu sebagai berikut.

a ; (a + 5) ; (a + 10) ; (a + 15)  dan  (a + 20)

180 ; (180 + 5) ; (180 + 10) ; (180 + 15) dan  (180 + 20)

180, 185, 190, 195, dan 200.

 

Jadi, kelima bilangan itu adalah 180, 185, 190, 195, dan 200.

 

Demikianlah sekilas materi tentang penerapan barisan dan deret aritmetika dalam menyelesaikan masalah.

Semoga bermanfaat.

MENENTUKAN KELILING DAN LUAS BANGUN DATAR SEGI EMPAT (PERSEGI PANJANG, PERSEGI, JAJARGENJANG, BELAH KETUPAT, TRAPESIUM DLL)

 

Dalam kesempatan ini akan kami sampaikan beberapa soal-soal tentang keliling dan luas bangun datar agar dapat digunakan untuk belajar siswa siswi tingkat SD/MI.

Adapun luas dan keliling yang akan dibahas antara lain keliling dan luas persegi, keliling dan luas persegi panjang, keliling dan luas trapesium, keliling dan luas belah ketupat, keliling dan luas jajargenjang, keliling dan luas layang-layang, dan keliling dan luas segitiga.

 

1.    Tentukan keliling dan luas bangun berikut.       

 

Jawaban :

Bangun di atas dinamakan persegi.

Diketahui s = 18 cm.

Keliling = 4s

             = 4 × 18

             = 72 cm

Jadi, keliling persegi adalah 72 cm.

 

Luas = s × s

         = 18 × 18

         = 324

Jadi, luas persegi adalah 324 cm².

 

2.    Perhatikan gambar di bawah ini.      

 

Jawaban :

Bangun di atas dinamakan persegi panjang.

Diketahui p = 24 cm dan l = 18 cm

Keliling = 2 × (p + l)

             = 2 × (24 + 18)

              = 2 × 42

             = 84 cm

Jadi, keliling persegi panjang adalah 84 cm.

 

Luas = p × l

         = 24 × 18

         = 432

Jadi, luas persegi panjang adalah 432 cm².

 

3.    Perhatikan gambar di bawah ini.     

 

Jawaban :

Bangun di atas dinamakan jajargenjang.

Diketahui a = 40 cm, b = 25 cm dan t = 20 cm

Keliling = 2 × (a + b)

             = 2 × (40 + 25)

              = 2 × 65

             = 130 cm

Jadi, keliling jajargenjang adalah 130 cm.

 

Luas = a × t

         = 40 × 20

         = 800

       Jadi, luas jajargenjang adalah 400 cm².

 

4.    Perhatikan trapesium di bawah ini.     

 

Hitung keliling dan luasnya.

Jawaban :

Bangun di atas dinamakan trapesium.

Diketahui a = 16 cm + 9 cm = 25 cm

                b = 16 cm  dan t = 12 cm

Keliling = jumlah semua sisi

             = 12 cm + 25 cm + 15 cm + 16 cm

             = 68 cm

Jadi, keliling trapesium adalah 68 cm.

 

Luas = (a + b)/2 × t

         = (25 + 16)/2 × 12

         = (41)/2 × 10

         = 41 x 5

          = 205

       Jadi, luas trapesium adalah 205 cm².

 

5.    Perhatikan gambar belah ketupat di bawah ini.      

 

Hitung keliling dan luasnya.

Jawaban :

Belah ketupat mempunyai ukuran seperti berikut.

Diagonal 1 = d₁ = 12 cm + 12 cm = 24 cm

Diagonal 2 = d₂ = 9 cm + 9 cm = 18 cm

Panjang sisi = s = 15 cm

Keliling = 4 × s

             = 4 × 15

             = 60

Jadi, keliling belah ketupat adalah 60 cm.

 

Luas = 1/2 × d₁ × d₂

         = 1/2 × 24 × 18

         = 12 × 18

          = 216

       Jadi, luas belah ketupat adalah 216 cm².

 

6.   Perhatikan gambar layang-layang di bawah ini.

 

Hitung keliling dan luasnya.

Jawaban :

Belah ketupat mempunyai ukuran seperti berikut.

Diagonal 1 = d₁ = 15 cm + 6 cm = 21 cm

Diagonal 2 = d₂ = 8 cm + 8 cm = 16 cm

Panjang sisi yang panjang = a = 17 cm

Panjang sisi yang pendek = b = 10 cm

 

Keliling = 2 × (a + b)

             = 2 × (17 + 10)

             = 2 × 27

 

             = 54

Jadi, keliling layang-layang adalah 54 cm.

 

Luas = 1/2 × d₁ × d₂

         = 1/2 × 21 × 16

         = 21 × 8

          = 168

       Jadi, luas layang-layang adalah 168 cm².

 

7.    Perhatikan gambar di samping.      

       Hitung keliling dan luasnya.

 

Jawaban :

Bangun di atas dinamakan trapesium siku-siku.

Diketahui a = 14 cm

                b = 8 cm  dan t = 8 cm

Keliling = jumlah semua sisi

             = 14 cm + 10 cm + 8 cm + 8 cm

             = 40 cm

Jadi, keliling trapesium adalah 40 cm.

 

Luas = (a + b)/2 × t

         = (14 + 8)/2 × 8

         = (22)/2 × 8

         = 11 x 8

          = 88

       Jadi, luas trapesium adalah 88 cm².

 

8.    Perhatikan gambar berikut.        

       Hitung keliling dan luasnya.

Jawaban :

Bangun di atas dinamakan trapesium sama kaki.

Diketahui a = 25 cm

                b = 15 cm 

                 t = 12 cm

Keliling = jumlah semua sisi

             = 25 cm + 13 cm + 15 cm + 13 cm

             = 66 cm

Jadi, keliling trapesium adalah 66 cm.

 

Luas = (a + b)/2 × t

         = (25 + 15)/2 × 12

         = (50)/2 × 12

         = 25 x 12

          = 300

       Jadi, luas trapesium adalah 300 cm².

 

9.   Perhatikan segitiga di bawah ini.

 

Hitung keliling dan luasnya.

Jawaban :

Bangun di atas dinamakan segitiga siku-siku.

Diketahui a = 12 cm

                 t = 16 cm

Keliling = jumlah semua sisi

             = 12 cm + 20 cm + 16 cm

             = 48 cm

Jadi, keliling segitiga adalah 48 cm.

 

Luas = 1/2 × a  × t

         = 1/2 × 12 × 16

         = 6 × 16

          = 96

       Jadi, luas segitiga siku-siku adalah 96 cm².

 

10. Perhatikan segitiga di bawah ini.     

 

Hitung keliling dan luasnya.

Jawaban :

Bangun di atas dinamakan segitiga sembarang.

Diketahui a = 42 cm

                 t = 16 cm

Keliling = jumlah semua sisi

             = 42 cm + 34 cm + 20 cm

             = 96 cm

Jadi, keliling segitiga adalah 96 cm.

 

Luas = 1/2 × a  × t

         = 1/2 × 42 × 16

         = 21 × 16

          = 96

       Jadi, luas segitiga siku-siku adalah 336 cm².

 

Demikianlah sedikit 10 soal tentang luas dan keliling bangun datar yang biasanya dikeluarkan dalam soal-soal ujian akhir, Ujian Nasional dan Ujian Sekolah tingkat SD/MI.

Semoga bermanfaat. 

10 CONTOH SOAL OPERASI HITUNG CAMPURAN BILANGAN BULAT DISERTAI PEMBAHASANNYA (PERSIAPAN UJIAN SEKOLAH)

 

Operasi hitung campuran adalah operasi matematika yang melibatkan lebih dari dua bilangan dan lebih dari satu operasi. 

Maksudnya, dalam satu soal, kita bisa menemukan penjumlahan dan pengurangan, perkalian dan pembagian, bahkan keempatnya sekaligus. 

Meski terlihat sulit, sebenarnya operasi hitung campuran dapat diselesaikan dengan mudah dengan memperhatikan aturan khusus. 

Dalam melakukan hitungan yang melibatkan penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian, maka perkalian dan pembagian didahulukan. Lebih jelasnya perhatikan aturan atau urutan langkah pengerjaan operasi hitung bilangan bulat.

1. Jika dalam operasi hitung terdapat tanda kurung,kerjakan operasi dalam tanda kurung.

Contoh : 

12 + 5 x (20 + 6)

= 12 + 5 x 26   Pengerjaan dalam kurung didahulukan

 

2. Jika dalam terdapat operasi perkalian, pembagian, penjumlahan dan pengurangan, maka kerjakan dahulu perkalian dan pembagian.

Perkalian dan pembagian lebih kuat dari pada penjumlahan/pengurangan.

Contoh:

15 + 5 x 6 - 18

= 15 + 30 - 18     Perkalian di dahulukan

 

36 + 28 - 20 : 4

= 36 + 28 - 20 : 5 Pengurangan di dahulukan

 

3. Jika dalam terdapat operasi perkalian dan pembagian beruntun, maka kerjakan dahulu dari depan.

Contoh:

24 : 6 x 2 + 15

= 4 x 2 + 15   Pembagian dilakukan dahulu, sebab posisinya di depan x

 

20 x 4 : 16 - 15

= 80 : 16 - 15  Perkalian dilakukan dahulu, sebab posisinya di depan : (bagi)

 

4. Jika dalam terdapat operasi penjumlahan dan pengurangan beruntun, maka kerjakan dahulu dari depan.

Contoh:

25 + 20 - 15 + 26

= 45 - 15 + 25 (penjumlahan dilakukan terlebih dahulu, posisi paling depan)

= 30 + 25 (pengurangan dilakukan terlebih dahulu, posisi paling depan)

= 55

 

Agar kalian paham tentang operasi hitung campuran bilangan bulat, simak beberapa contoh berikut.

1.     -42 : 6 × 3 + (-28)

        =  -7 × 3 + (-28)        Pembagian dikerjakan dahulu daripada perkalian

        =  -21 + (-28)            Perkalian dikerjakan dahulu daripada penjumlahan

        =  -49                     

 

2.     3 - (-80) : (-8) × (-4)

        =  3 - 10 × (-4)          Pembagian dikerjakan dahulu daripada perkalian

        =  3 - (-40)               Perkalian dikerjakan dahulu daripada pengurangan

        =  3 + 40

        =  43  

 

3.     (-30) : (-15) × 3 + (-40)

        =  2 × 3 + (-40)         Pembagian dikerjakan dahulu daripada perkalian

        =  6 + (-40)               Perkalian dikerjakan dahulu daripada penjumlahan

        = -34

 

4.     3 - (-12) : (-3) × (-2)

        =  3 - 4 × (-2)            Pembagian dikerjakan dahulu daripada perkalian

        =  3 - (-8)                 Perkalian dikerjakan dahulu daripada pengurangan

        = 3 + 8

        = 11

 

5.     (-16) × (-2) : (-8) - (-20)

        =  32 : (-8) - (-20)    Perkalian dikerjakan dahulu daripada pembagian

       =  (-4) - (-20)            Pembagian dikerjakan dahulu daripada pengurangan

        = -4 + 20

        = 16

 

6.     (-20) × (-7) : (-10) - (-7)

        =  140 : (-10) - (-7)    Perkalian dikerjakan dahulu daripada pembagian

       =  -14 - (-7)              Pembagian dikerjakan dahulu daripada pengurangan

        = -14 + 7

        = -7

 

7.     (-28) : (-4) + 3 × 5

        =  7 + 3 × 5               Pembagian dikerjakan dahulu (paling kiri)

        =  7 + 15                  Perkalian dikerjakan dahulu daripada penjumlahan

        = 22

 

 

8.     (-45) : (-9) + 3 × 9

        =  5 + 3 × 9               Pembagian dikerjakan dahulu (paling kiri)

        =  7 + 27                  Perkalian dikerjakan dahulu daripada penjumlahan

        = 34

 

9.     (-52) : 2 × (-3) + 7

        =  -26 × (-3) + 7        Pembagian dikerjakan dahulu daripada perkalian

        =  78 + 7                  Perkalian dikerjakan dahulu daripada penjumlahan

        =  85

 

10.   (-15) × (-3) : (-5) - (-40)

        =  45 : (-5) - (-40)    Perkalian dikerjakan dahulu daripada pembagian

       =  -9 - (-40)              Pembagian dikerjakan dahulu daripada pengurangan

        =  -9 + 40

        = 31

 

Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan operasi hitung campuran bilangan bulat. Semoga menjadikan lebih terampil dalam berhitung bilangan bulat ini.