MEMODELKAN SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL _ PROGRAM LINEAR

 Hai, sobat Imath. Kali ini kita akan belajar tentang program linear. Program linear adalah salah satu materi dalam matematika yang digunakan untuk mencari nilai optimum, baik itu nilai maksimum maupun minimum, dari suatu permasalahan yang melibatkan kendala-kendala tertentu. Biasanya, program linear digunakan dalam kehidupan sehari-hari, misalnya untuk menentukan keuntungan maksimum dari produksi barang atau penggunaan bahan baku yang paling efisien. Dalam program linear, terdapat fungsi tujuan yang akan dioptimalkan, serta sejumlah kendala dalam bentuk pertidaksamaan linear yang harus dipenuhi. Proses penyelesaian program linear dapat dilakukan dengan cara menggambar daerah himpunan penyelesaian pada bidang kartesius, kemudian menentukan titik-titik pojok yang menjadi kandidat solusi optimum.

Salah satu bagian penting dalam program linear adalah sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Sistem ini terdiri atas dua atau lebih pertidaksamaan yang melibatkan dua variabel, biasanya dinyatakan dengan simbol-simbol seperti "<", ">", "≤", atau "≥". Setiap pertidaksamaan membatasi suatu daerah pada bidang kartesius, dan daerah yang memenuhi seluruh pertidaksamaan disebut daerah himpunan penyelesaian. Untuk menggambar daerah tersebut, setiap pertidaksamaan diubah menjadi persamaan garis, kemudian ditentukan daerah mana yang sesuai dengan tanda pertidaksamaan. Dengan memahami sistem pertidaksamaan linear dua variabel, siswa dapat lebih mudah menyelesaikan masalah program linear dengan cara grafik.

Sebelum membahas tentang menyelesaikan dan menentukan nilai optimum pada program linear, mari belajar cara memodelkan permasalahan sehari-hari berkaitan dengan program linear.

Yuk, langsung saja kita mulai.

 

1. Seorang pedagang paling sedikit menyewa 28 kendaraan untuk jenis truk dan colt, dengan jumlah yang diangkut sebanyak 272  karung. Truk dapat mengangkut tidak lebih dari 14 karung dan colt 8 karung. Ongkos sewa truk Rp500.000,00 dan colt Rp300.000,00. Jika x menyatakan banyaknya truk dan y menyatakan banyaknya colt, maka model  matematika dari permasalahan di atas adalah ...

A.  x + y £ 28; 7x + 4y £ 136; x ³ 0; y ³ 0

B.  x + y ³ 28; 7x + 4y £ 136; x ³ 0; y ³ 0

C.  x + y ³ 28; 7x + 4y ³ 136; x ³ 0; y ³ 0

D.  x + y £ 28; 7x + 4y ³ 136; x ³ 0; y ³ 0

E.  x + y £ 28; 7x + 4y £ 136; x ³ 0; y ³ 0

Jawaban: D

x = banyaknya truk

y = banyaknya colt,

Paling sedikit menyewa 28 kendaraan untuk jenis truk dan colt. Dapat ditulis:

x + y £ 28

Jumlah barang yang diangkut sebanyak 272  karung. Dapat ditulis:

14x + 8y ³ 272,  atau dapat disederhanakan menjadi:

7x + 4y ³ 136

Banyak barang bilangan positif, x ³ 0 dan y ³ 0.

Jadi, model sistem pertidaksamaan adalah:

x + y £ 28; 7x + 4y ³ 136; x ³ 0; y ³ 0.

 

 

2. Anis akan membeli mangga dan apel. Jumlah buah yang dibeli paling sedikit 12 buah. Mangga yang dibeli paling banyak 6 buah. Harga mangga Rp2.000,00 per buah dan apel Rp4.000,00 per buah. Ia mempunyai uang Rp20.000,00. Jika ia membeli x mangga dan y apel, maka sistem pertidaksamaan yang sesuai adalah . . .

A.   x + 2y ³ 10; x + y ³ 12; x ³ 6

B.   x + 2y £ 10; x + y ³ 12; x £ 6

C.   x + 2y £ 10; x + y £ 12; x ³ 6

D.   x + 2y £ 10; x + y ³ 12; x ³ 6

E.  x + 2y ³ 10; x + y ³ 12; x £ 6

Jawaban: B

x = banyak mangga

y = banyak apel

Jumlah buah yang dibeli paling sedikit 12 buah. Dapat ditulis:

x + y ³ 12

Jumlah uang tersedia Rp20.000,00. Dapat ditulis:

2.000x + 4.000y £ 20.000,  atau dapat disederhanakan menjadi:

x + 2y £ 10

Mangga yang dibeli paling banyak 6 buah, x £ 6.

 

Jadi, model sistem pertidaksamaan adalah:

x + 2y £ 10; x + y ³ 12; x £ 6

 

 

3. Seorang pengusaha roti akan membuat roti. Roti jenis I membutuhkan 20 gram tepung dan 10 gram mentega, sedangkan roti jenis II membutuhkan 15 gram tepung dan 10 gram mentega. Bahan yang tersedia adalah tepung 5 kg dan mentega 4 kg. Jika x menyatakan banyaknya roti jenis I dan y menyatakan banyaknya jenis roti II, model matematika persoalan tersebut adalah ....

A.   4x + 3y ³ 1.000; x + y ³ 400; x ³ 0; y ³ 0

B.   4x + 3y ³ 1.000; x + y £ 400; x ³ 0; y ³ 0

C.   4x + 3y £ 1.000; x + y ³ 400; x ³ 0; y ³ 0

D.   4x + 3y £ 1.000; x + y £ 400; x ³ 0; y ³ 0

E.  4x + 3y ³ 1.000; x + y ³ 400; x £ 0; y £ 0

Jawaban: D

x = banyaknya roti jenis I

y = banyaknya jenis roti II

Tepung yang tersedia 5 kg atau 5.000 gram. Dapat ditulis:

20x + 15y £ 5.000, atau disederhanakan 4x + 3y £ 1.000

Mentega yang tersedia 4 kg atau 4.000 gram. Dapat ditulis:

10x + 10y £ 4.000,  atau dapat disederhanakan x + y £ 400

Tepung dan Mentega tidak boleh negatif.

x ³ 0; y ³ 0

 

Jadi, model sistem pertidaksamaan adalah:

4x + 3y £ 1.000; x + y £ 400; x ³ 0; y ³ 0

 

 

4. Luas sebuah tempat parkir adalah 420 m². Tempat parkir yang diperlukan oleh sebuah sedan adalah 5 m² dan luas rata-rata sebuah truk 15 m². Tempat parkir tersebut dapat menampung tidak lebih dari 60 kendaraan. Biaya parkir untuk sebuah sedan Rp3.000,00 dan untuk sebuah truk Rp5.000,00. Jika banyak sedan yang diparkir x buah dan banyak truk y buah, model matematika dari masalah tersebut adalah ....

A.   x + 3y £ 84; x + y £ 60; x ³ 0; y ³ 0

B.   x + 3y ³ 84; x + y £ 60; x ³ 0; y ³ 0

C.   x + 3y £ 84; x + y ³ 60; x ³ 0; y ³ 0

D.   x + 3y ³ 84; x + y ³ 60; x ³ 0; y ³ 0

E.   x + 3y £ 84; x + y £ 60; x ³ 0; y ³ 0

Jawaban: D

x = banyaknya sedan

y = banyaknya truk

Luas sebuah tempat parkir adalah 420 m². Dapat ditulis:

5x + 15y £ 420, atau disederhanakan x + 3y £ 84

Menampung tidak lebih dari 60 kendaraan

x + y £ 60,

Banyak kendaraan tidak boleh negatif.

x ³ 0; y ³ 0

Jadi, model sistem pertidaksamaan adalah:

x + 3y £ 84; x + y £ 60; x ³ 0; y ³ 0

 

Demikian sekilas materi tentang sistem pertidaksamaan linear dua variabel.

Semoga bermanfaat.

How to Simplify Expressions_ALGEBRA

 

Simplifying Expressions

Simplifying expressions mean rewriting the same algebraic expression with no like terms and in a compact manner. To simplify expressions, we combine all the like terms and solve all the given brackets, if any, and then in the simplified expression, we will be only left with unlike terms that cannot be reduced further. Let us learn more about simplifying expressions in this article.

 

How to Simplify Expressions?

Before learning about simplifying expressions, let us quickly go through the meaning of expressions in math. Expressions refer to mathematical statements having a minimum of two terms containing either numbers, variables, or both connected through an addition/subtraction operator in between. The general rule to simplify expressions is PEMDAS - stands for Parentheses, Exponents, Multiplication, Division, Addition, Subtraction. In this article, we will be focussing more on how to simplify algebraic expressions. Let's begin!

 

We need to learn how to simplify expressions as it allows us to work more efficiently with algebraic expressions and ease out our calculations. To simplify algebraic expressions, follow the steps given below:

 

Step 1: Solve parentheses by adding/subtracting like terms inside and by multiplying the terms inside the brackets with the factor written outside.

For example, 2x(x + y) can be simplified as 2x² + 2xy.

Step 2: Use the exponent rules to simplify terms containing exponents.

Step 3: Add or subtract the like terms.

Step 4: At last, write the expression obtained in the standard form (from highest power to the lowest power).

 

Let us take an example for a better understanding.

Simplify the expression: x(6 – x) – x(3 – x).

Here, there are two parentheses both having two unlike terms. So, we will be solving the brackets first by multiplying x to the terms written inside.

x(6 - x) can be simplified as 6x - x²,

-x(3 - x) can be simplified as -3x + x².

Now, combining all the terms will result in 6x - x² - 3x + x². In this expression, 6x and -3x are like terms, and -x² and x² are like terms. So, adding these two pairs of like terms will result in (6x - 3x) + (-x² + x²). By simplifying it further, we will get 3x, which will be the final answer. Therefore, x(6 – x) – x(3 – x) = 3x.

 

Look at the image given below showing another simplifying expression example.

 

Rules for Simplifying Algebraic Expressions

The basic rule for simplifying expressions is to combine like terms together and write unlike terms as it is. Some of the rules for simplifying expressions are listed below:

 

To add two or more like terms, add their coefficients and write the common variable with it.

Use the distributive property to open up brackets in the expression which says that:

 a(b + c) = ab + ac.

If there is a negative sign just outside parentheses, change the sign of all the terms written inside that bracket to simplify it.

If there is a 'plus' or a positive sign outside the bracket, just remove the bracket and write the terms as it is, retaining their original signs.

 

Simplifying Expressions with Exponents

To simplify expressions with exponents is done by applying the rules of exponents on the terms. For example, (3x²)(2x) can be simplified as 6x³. The exponent rules chart that can be used for simplifying algebraic expressions is given below:

Example:

Simplify: 2ab + 4b(b² - 2a).

 

To simplify this expression, let us first open the bracket by multiplying 4b to both the terms written inside. This implies, 2ab + 4b(b²) - 4b(2a). By using the product rule of exponents, it can be written as 2ab + 4b³ - 8ab, which is equal to 4b³ - 6ab.

 

This is how we can simplify expressions with exponents using the rules of exponents.

 

Simplifying Expressions with Distributive Property

Distributive property states that an expression given in the form of:

x(y + z) can be simplified as xy + xz.

 

It can be very useful while simplifying expressions. Look at the above examples, and see whether and how we have used this property for the simplification of expressions.

Let us take another example of simplifying 5(2a + 4a + 3b) - 7b using the distributive property.

 

Remember : x(y + z) = xy + xz

5(2a + 4a + 3b) - 7b

= 5(6a + 3b) - 7b

= 5 × 6a + 5 × 3b - 7b

= 30a + 15b - 7b

= 30a + 8b

 

Therefore, 5(2a + 4a + 3b) - 7b is simplified as 30a + 8b.

Now, let us learn how to use the distributive property to simplify expressions with fractions.

 

Simplifying Expressions with Fractions

When fractions are given in an expression, then we can use the distributive property and the exponent rules to simplify such expression.

While simplifying expressions with fractions, we have to make sure that the fractions should be in the simplest form and only unlike terms should be present in the simplified expression. 

 

Cara Mudah Menentukan Daerah Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV)

Dalam kesempatan ini akan kita bahas cara menentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel (SPtLDV). Materi sistem peertidaksamaan linear dua variabel merupakan materi pelajaran di tingkat SMA/MA. Dasar yang harus dikuasai dalam materi ini adalah persamaan linear dua variabel dan persamaan garis lurus.

Nah, sekarang bagaimana cara menentukan sistem pertidaksamaan linear dua variabel?

 ax + by < c, ax + by > c, ax + by ≤ c, atau ax + by ≥ c.

Sebagai dasar kita harus menentukan daerah penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel terlebih dahulu.

Simak contoh berikut.

Di bawah ini adalah daerah penyelesaian dari pertidaksamaan linear dua variabel 3x + 4y ≤ 24 dan 3x + 4y ≥ 24.

Untuk mengecek kebenaran daerah penyelesaian, ambilah titik sembarang yang terdapat pada daerah penyelesaian tersebut (daerah yang diarsir), lalu substitusikan ke dalam pertidaksamaan.

 

Misalnya kita akan mengecek kebenaran daerah penyelesaian pada 3x + 4y ≤ 24, maka kita bisa mengambil salah satu titik pada daerah penyelesaian (daerah yang diarsir).

Misalnya kita ambil titik (1, 1).

Kemudian kita substitusikan ke pertidaksamaan 3x + 4y ≤ 24.

3x + 4y ≤ 24 , maka 3(1) + 4(1) ≤ 24

                                            7 ≤ 24  (Benar)

 

Jika kita akan mengecek kebenaran daerah penyelesaian pada 3x + 4y ≥ 24, maka kita bisa mengambil salah satu titik pada daerah penyelesaian (daerah yang diarsir).

Misalnya kita ambil titik (10, 10).

Kemudian kita substitusikan ke pertidaksamaan 3x + 4y ≥ 24.

3x + 4y ≥ 24 , maka 3(10) + 4(10) ≥ 24

                                            70 ≥ 24  (Benar)

 

Dengan mengambil salah satu titik tersebut maka kita dapat menentukan daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel.

 

Misalnya perhatikan permasalahan berikut.

Tentukan sistem pertidaksamaan linear dua variabel dari daerah penyelesaian berikut.

 

Penyelesaian:

Langkah 1: Menentukan persamaan kedua garis tersebut.

Garis yang melalui (8, 0) dan (0, 4)

4x + 8y = 4 × 8  Û 4x + 8y = 32

                        Û x + 2y = 8

 

Garis yang melalui (5, 0) dan (0, 6)

6x + 5y = 6 × 5  Û 6x + 5y = 30

 

Langkah 2: Menentukan pertidaksamaan kedua garis yang memiliki penyelesaian daerah arsir.

 

Untuk garis x + 2y = 8.

Apakah daerah arsir merupakan penyelesaian x + 2y ≤ 8 atau x + 2y ≥ 8.

Mari kita cari dengan langkah berikut.

Ambil salah satu titik koordinat yang betul-betul terletak pada daerah arsir (Misalnya (1,2))

Lalu masukkan ke bentuk aljabar x + 2y  lalu bandingkan dengan 8.

x + 2y ..... 8  (Tanda titik-titik nanti diisi dengan tanda ≥ atau ≤, supaya benar)

 

Coba kita cek

1 + 2(2) ..... 8

    1 + 3 ... 8

         4 ... 8

Nah tanda ketidaksamaan yang benar untuk mengisi titik-titik tersebut adalah ≤.(4 ≤ 8)

Jadi, pertidaksamaan pertama yang memiliki penyelesaian daerah arsir adalah x + 2y ≤ 8.

 

 

Untuk garis 6x + 5y = 30.

Apakah daerah arsir merupakan penyelesaian 6x + 5y ≤ 30 atau 6x + 5y ≥ 30.

Mari kita cari dengan langkah berikut.

Ambil salah satu titik koordinat yang betul-betul terletak pada daerah arsir (Misalnya (1,2))

Lalu masukkan ke bentuk aljabar 6x + 5y  lalu bandingkan dengan 30.

6x + 5y ..... 30  (Tanda titik-titik nanti diisi dengan tanda ≥ atau ≤, supaya benar)

 

Coba kita cek

6(1) + 5(2) ..... 30

       6 + 10 ...  30

            16 ...  30

Nah tanda ketidaksamaan yang benar untuk mengisi titik-titik tersebut adalah ≤.(16 ≤ 30)

Jadi, pertidaksamaan pertama yang memiliki penyelesaian daerah arsir adalah 6x + 5y ≤ 30.

 

Dari dua pertidaksamaan di atas, maka diperoleh sistem pertidaksamaan dari daerah penyelesaian tersebut adalah x + 2y ≤ 8 dan 6x + 5y ≤ 30.

 

Nah secara umum jika kita mempunyai garis ax + by = c, maka pertidaksamaan yang dapat dibuat sebagai berikut.

 

Dengan memperhatikan pola pertidaksamaa di atas maka kita dapat menentukan derah penyelesaian dan sistem pertidaksamaan linear dua  variabel dengan mudah.

Perhatikan bentuk daerah penyelesaian dan sistem pertidaksamaannya berikut.

Demikianlah cara menentukan daerah penyelesaian dan menentukan sistem pertidaksamaan linear dua variabel. 

Semoga bermanfaat.

  

BAHAS SOAL-SOAL UJIAN SEKOLAH DAN UJIAN NASIONAL MATEMATIKA JENJANG SD/MI _ Volume dan Luas Bangun Ruang

 Ujian sekolah dan ujian nasional merupakan alat ukur untuk menguji ketuntasan materi yang dipelajari pada jenjang sekolah tertentu. Ujian sekolah ini sangat penting dilakukan karena untuk mengukur penguasaan materi siswa terhadap materi tertentu. Misalkan ada Ujian Sekolah SD/MI mata pelajaran Matematika. Ujian ini berupa soal-soal mendasar yang dapat mengukur penguasaan materi Matematika dari kelas 4 sampai 6.

Dalam kesempatan ini akan kami sampaikan beberapa soal-soal yang sering keluar dalam ujian sekolah dan ujian nasional Matematika SD/MI pada Bab Bangun Ruang khususnya Luas Permukaan dan Volume Bangun Rung. Perlu diketahui bahwa Bangun Ruang merupakan materi yang sering keluar dalam Ujian Sekolah maupun Ujian Nasional, seperti Kubus, Balok, Tabung, dan Prisma. Nah, bagaimana bentuk Soal ujian yang sering keluar dalam Ujian Sekolah dan Ujian Nasional?

Yuk, pelajari soal-soal berikut.

 

 

1.    Perhatikan gambar berikut.

Luas seluruh permukaan bangun di atas adalah . . . .

A.        378 cm²

B.        1.160 cm²

C.        2.220 cm²

D.        2.320 cm²

Jawaban: D

L_balok   = 2(pl + pt + lt)

            = 2 ´ (35 ´ 10 + 35 ´ 18 + 10 ´ 18)

            = 2 ´ (350 + 630 + 180)

            = 2 ´ 1.160

            = 2.320 cm²

Jadi, luas seluruh permukaan bangun adalah 2.320 cm².

 

2.    Perhatikan gambar berikut.

Luas permukaan bangun di atas adalah . . . .

A.        108 cm²

B.        486 cm²

C.        648 cm²

D.        729 cm²

Jawaban: B

L_Kubus  = 6s²

            = 6 ´ (9 ´ 9)

            = 6 ´ 81

            = 486 cm²

Jadi, luas permukaan bangun adalah 486 cm².

 

3.    Perhatikan gambar berikut.

Volume bangun di atas adalah . . . .

A.        1.000 cm³

B.        2.000 cm³

C.        3.000 cm³

D.        4.000 cm³

Jawaban: A

V_balok  = p ´ l ´ t

            = 20 ´ 5 ´ 10

            = 1.000

Jadi, volume bangun adalah 1.000 cm³.

 

4.    Perhatikan gambar berikut.

Volume bangun di atas adalah . . . .

A.        2.375 cm³

B.        3.325 cm³

C.        3.375 cm³

D.        4.625 cm³

Jawaban: C

V_Kubus  = s³

            = 15 ´ 15 ´ 15

            = 3.375

Jadi, volume kubus adalah 3.375 cm³.

 

5.    Perhatikan prisma berikut.

Volume bangun di atas adalah . . . .

A.        480 cm³

B.        560 cm³

C.        720 cm³

D.        960 cm³

Jawaban: A

V_Prisma = L_a ´ t

            = 1/2 ´ 8 ´ 6 ´ 20

            = 4 ´ 6 ´ 20

            = 480

Jadi, volume prisma adalah 480 cm³.

 

 

6.    Perhatikan gambar.

Volume bangun di atas adalah . . ..

A.        24.662 cm³

B.        25.872 cm³

C.        30.184 cm³

D.        51.744 cm³

Jawaban: B

Diameter tabung = 28 cm, berarti jari-jari(r) = 14 cm

V         = pr²t

            = 22/7 × 14 × 14 × 42

            = 22 × 2 × 14 × 42

            = 25.872

          Jadi, volume tabung adalah 25.872 cm³.

 

7.         Akuarium berbentuk balok dengan ukuran panjang 60 cm, lebar 50 cm, dan tinggi 35 cm. Jika akuarium berisi air setengahnya, maka banyak air di dalam akuarium adalah . . . .

A.        6.850 cm³

B.        13.700 cm³

C.        52.500 cm³

D.        105.000 cm³

Jawaban: C

Volume air sama dengan setengah dari volume akuarium.

V_air      = 1/2 × p × l × t

            = 1/2 × 60 × 50 × 35

            = 30 × 50 × 35

            = 52.500 cm³

Jadi, volume air di akuarium adalah 52.500 cm³.

 

8.         Sebuah kolam berbentuk kubus dengan panjang rusuk 60 cm. Jika kolam tersebut akan diisi air hingga penuh, berapa liter air yang diperlukan?

A.      21,6 liter

B.     36 liter

C.     216 liter

D.     360 liter

Jawaban: C

Volume air sama dengan volume akuarium.

V_air      = s × s × s

            = 60 × 60 × 60

            = 216.000 cm³

            = 216 liter

Jadi, air yang diperlukan adalah 216 liter.

 

9.    Akuarium berbentuk balok dengan ukuran panjang 15 dm, lebar 12 dm, dan tinggi 10 dm. Jika akuarium diisi air 3/5 dari tingginya, maka berapa volume air di akuarium?

A.    360 liter

B.    720 liter

C.    1.080 liter

D.    1.800 liter

Jawaban: C

Tinggi air = 3/5 × tinggi akuarium

V_air      = p × l × t_air

            = 15 × 12 × 3/5× 10

            = 15 × 12 × 6

            = 1.080 dm³

            = 1.080  liter

Jadi, volume air di akuarium adalah 1.080  liter.

 

 

Demikianlah beberapa soal standar Ujian Sekolah dan Ujian Nasional Matematika SMP/MTSD/MI yang berkaitan dengan volume dan luas permukaan bangun ruang, khususnya bangun kubus, balok, tabung, dan prisma.

Semoga Bermanfaat.