Linear Equations in One Variable

 

1. Linear Equation in One Variable Definition

A linear equation in one variable is an equation that can be written in the form ax + b = 0, where x is the variable, and a and b are numbers. The term "linear" means that the variable, x, is raised to the power of 1, and there are no other powers or operations, like squares or cubes, on x. These equations are called "in one variable" because they involve only one unknown number.

 

For example:

1.    3x + 5 = 0

2.    2x - 7 = 13

3.    x + 9 = -4

 

2. Standard Form of Linear Equations in One Variable

 

The standard form of a linear equation in one variable is:

 

ax + b = 0

 

Here:

x is the variable we need to solve for.

a is the coefficient of x (it cannot be zero).

b is the constant term.

 

For example:

In   4x - 7 = 0, a = 4 and b = -7.

In  -3x + 2 = 0, a = -3 and b = 2.

 

 3. Solving Linear Equations in One Variable

To solve a linear equation, the goal is to find the value of x that makes the equation true. Here are the basic steps:

1. Simplify the equation: Combine like terms if needed.

2. Isolate the variable: Move all terms with x to one side of the equation and constants to the other side.

3. Solve for the variable: Divide or multiply to find the value of x.

 

 Example 1:

Solve 3x + 5 = 11.

 

Step 1: Subtract 5 from both sides.

            3x + 5 - 5 = 11 - 5

                       3x = 6

Step 2: Divide both sides by 3.

             3x/2 = 6/2         

                  x = 2

 

 Example 2:

Solve 7x - 3 = 25.

 

Step 1: Add 3 to both sides.

            7x - 3 + 3 = 25 + 3

                        7x = 28

Step 2: Divide both sides by 7.

                    7x/7 = 28/7

                         x = 4

 

4. Linear Equation in One Variable Examples

Here are more examples of linear equations and their solutions:

 

1. Solve 2x + 6 = 3x - 5

Answer:

2x + 6 = 3x - 5

2x + 6 - 6 = 3x - 5 - 6      (Subtract 6 to both sides)

          2x  = 3x - 11

    2x - 3x = 3x - 3x  - 11  (Subtract 3x to both sides)

           -x  = -11     

 -x  × (-1) = -11 × (-1)      (Multiply (-1) to both sides)

             x = 11                

 

2. Solve 5x - 12 = 2x + 3

Answer:

5x - 12 = 2x + 3

5x - 12 + 12 = 2x + 3 + 12      (Add 12 to both sides)

          5x  = 2x + 15

    5x - 2x = 2x - 2x  + 15        (Subtract 2x to both sides)

           3x  = 15     

       3x : 3 = 15 : 3                  (Devide 3 to both sides)

              x = 5                

 

3. Solve 3(2x - 5) = 4x + 7

Answer:

3(2x - 5) = 4x + 7

6x - 15 = 4x + 7

6x - 15 + 15 = 4x + 7 + 15      (Add 15 to both sides)

          6x  = 4x + 22

    6x - 4x = 4x - 4x + 22        (Subtract 4x to both sides)

           2x  = 22     

       2x : 2 = 22 : 2                  (Devide 2 to both sides)

              x = 11                

 

5. Linear Equation in One Variable Word Problems

Linear equations in one variable are useful for solving real-life problems. Let’s look at some examples:

 

Example 1: Age Problem

Sarah’s age is 5 years more than twice her brother’s age. If her brother is x years old and Sarah is 17 years old, find her brother’s age.

Answer:

The Equation is

2x + 5 = 17

Solution:

- Subtract 5 from both sides: 2x = 12

- Divide by 2: x = 6

Her brother is 6 years old.

 

 Example 2: Money Problem

A pencil costs $2 more than an eraser. If the pencil costs $10, find the cost of the eraser.

Answer:

The equation is

E + 2 = 10 (where E is the cost of the eraser)

Solution:

- Subtract 2 from both sides: E = 8

The eraser costs $8.

 

 Example 3: Distance Problem

A car travels at 60 km/h and covers a certain distance in t hours. If the total distance covered is 180 km, find the value of t.

Answer:

The equation is:

60t = 180

Solution:

- Divide both sides by 60 : t = 3

The car traveled for 3 hours.

 

Thank.

Quadratic Equations and How To Solve Quadratic Equations

 Quadratics are polynomial equations of the second degree, meaning they include at least one squared term. These equations are also referred to as quadratic equations. The general representation of a quadratic equation is:

ax² + bx + c = 0

Here, x is the unknown variable, and a, b, and c are numerical coefficients. For instance, x² + 2x + 1 is an example of a quadratic equation. Note that a ≠ 0 because if a = 0, the equation reduces to a linear equation, such as:

bx + c = 0

This would no longer be considered a quadratic equation.

The coefficients a, b, and c are often referred to as the quadratic coefficients.

Roots or Zeros of Quadratic Equations

The solutions to a quadratic equation are the values of x that satisfy the equation. These solutions are known as the roots or zeros of the quadratic equation. For any polynomial, the roots are the solutions that make the equation true.

---

What is a Quadratic Equation?

A quadratic equation, also called a quadratic, is a polynomial equation where the highest degree is two. It is typically written as:

ax² + bx + c = 0

Here, x is the variable, and a, b, and c are constants.

---

Standard Form of a Quadratic Equation

Since quadratic equations involve only one variable, they are univariate equations. The variable x has a non-negative integer power, and the highest power is 2. Therefore, it is a second-degree polynomial.

The solutions, or zeros, of the quadratic equation satisfy the equation when substituted for x. Quadratic equations have two roots, and substituting these roots into the equation will make the left-hand side equal to zero.

---

Quadratic Formula

To find the roots of a quadratic equation, the quadratic formula is used. Given a quadratic equation ax² + bx + c = 0, the roots can be calculated using the formula:

x = (-b ± sqrt(b² - 4ac))/2a

The ± sign indicates that there are two possible solutions for x.

---

Examples of Quadratic Equations

Below are some examples of quadratic equations in the standard form ax² + bx + c = 0:

• x² – x – 9 = 0
• 5x² – 2x – 6 = 0
• 3x² + 4x + 8 = 0
• –x² + 6x + 12 = 0

Examples of quadratic equations without the constant term c:

• –x² – 9x = 0
• x² + 2x = 0

---

Methods to Solve Quadratic Equations

There are four primary methods to solve quadratic equations:

1. Factoring

2. Completing the Square

3. Using the Quadratic Formula

4. Taking the Square Root

UNSUR-UNSUR DAN SIFAT-SIFAT BANGUN DATAR (SEGI EMPAT DAN SEGITIGA)

 

Dalam kehidupan sehari-hari kita tak lepas dari bangun datar. Banyak bangun datar yang akan kita pelajari di sini. Khusus pada artikel ini akan kita bahas unsur-unsur dan sifat-sifat bangun datar segitiga dan segi empat.

Unsur-unsur bangun datar yang dibahas antara lain pada persegi panjang, persegi, segitiga, trapesium, jajargenjang, layang-layang, dan belah ketupat.

1.    Persegi Panjang

Sifat-sifat:

1)   Mempunyai 4 sisi dan 4 titik sudut.

2)   Mempunyai 2 pasang sisi yang sejajar dan sama panjang.

3)   Keempat sudutnya siku-siku.

4)   Memiliki 2 sumbu simetri (simetri lipat)

5)   Memiliki simetri putar tingkat dua.

 

2.    Persegi

Sifat-sifat:

1)   Mempunyai 4 sisi dan 4 titik sudut.

2)   Keempat sisinya sama panjang.

3)   Memiliki dua pasang sisi sejajar

4)   Keempat sudutnya siku-siku.

5)   Memiliki 4 sumbu simetri.

6)   Memiliki simetri putar tingkat 4

7)   Diagonal-diagonalnya berpotongan saling tegak lurus

 

3.    Segitiga

Sifat-sifat segitiga secara umum.

1)   Mempunyai 3 sisi dan 3 titik sudut.

2)   Jumlah ketiga sudutnya 180 derajat

 

Segitiga Sama Sisi

Sifat-sifat

1)   Ketiga sisinya sama panjang.

2)   Ketiga sudutnya sama besar (yaitu 60 derajat).

3)   Memiliki 3 sumbu simetri (simetri lipat).

4)   Memiliki simetri putar tingkat tiga.

 

Segitiga Sama Kaki

Sifat-sifat

1)   Memiliki dua sisi sama panjang.

2)   Memiliki dua sudut sama besar.

3)   Memiliki satu sumbu simetri (simetri lipat).

4)   Tidak memiliki simetri putar.

 

4.    Trapesium

 

Sifat-sifat:

1)   Mempunyai 4 sisi dan 4 titik sudut.

2)   Mempunyai sepasang sisi yang sejajar (AB sejajar dengan CD)

3)   Tidak memiliki simetri putar

Sifat Khusus pada Trapesium Sama kaki:

1) Memiliki satu sumbu simetri

2) Memiliki sepasang sisi sama panjang

3) Memiliki dua pasang sudut sama besar.

 

5.    Layang-Layang

Sifat-sifat:

1)   Mempunyai 4 sisi dan 4 titik sudut.

2)   Mempunyai dua pasang sisi yang sama panjang.

3)   Mempunyai sepasang sudut yang sama besar (A = C).

4)   Memiliki satu sumbu simetri.

5)   Tidak memiliki simetri putar.

6)   Diagonalnya berpotongan tegak lurus

 

 

6.    Jajargenjang

Sifat-sifat:

1)   Mempunyai 4 sisi dan 4 titik sudut.

2)   Mempunyai 2 pasang sisi yang sejajar dan sama panjang.

3)   Memiliki 2 sudut lancip sama besar dan 2 sudut tumpul sama besar.

4)   Tidak memiliki sumbu simetri

5)   Tidak memiliki simetri putar

 

7.    Belah Ketupat

Sifat-sifat:

1)   Mempunyai 4 sisi dan 4 titik sudut.

2)   Keempat sisinya sama panjang.

3)   Memiliki sepasang sudut lancip dan sepasang sudut tumpul.

4)   Sudut-sudut yang berhadapan sama besar (B = D dan A = C).

5)   Memiliki 2 sumbu simetri (simetri lipat)

6)   Memiliki simetri putar tingkat dua.

7)   Kedua diagonalnya berpotongan tegak lurus

 

Demikianlah sekilas tentang unsur-unsur dan sifat bangun datar segitiga dan segi empat yang dapat kami jelaskan.

Semoga bermanfaat.

Menyelesaikan Soal SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL (SPLTV)

 

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) terdiri dari tiga persamaan linear, masing-masing memiliki persamaan dengan tiga variabel berpangkat satu. Agar bisa mengerjakan soalnya, tentunya Anda perlu memahami konsep Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel.

 

Konsep Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) dalam Matematika adalah kumpulan beberapa persamaan linear tiga variabel yang saling terkait. Artinya penyelesaian dari pengganti variabelnya memiliki keterkaitan dengan persamaan yang lainnya.

Misal bentuk persamaan linear tiga variabel seperti di bawah ini.

ax + by + cz = d

Keterangan:

Dalam konsep di atas terlihat bahwa x,y dan z merupakan variabel

a dikatakan sebagai koefisien variabel x

b dikatakan sebagai koefisien variabel y

c dikatakan sebagai variabel z

d dikatakan sebagai konstanta

 

Penting diingat catatannya a, b dan c merupakan bilangan real, a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0

 

Dalam materi Matematika kelas 10 sebelumnya, Anda sudah belajar mengenai Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV). Persamaan ini terdiri atas dua persamaan linear yang masing-masing memiliki dua variabel. Sementara itu, sesuai namanya, SPLTV memiliki tiga variabel, misalnya x, y dan z. Agar lebih mudah memahami antara Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) dengan dua variabel (SPLDV), sebaiknya ketahui contoh soal dan cara penyelesaiannya terlebih dahulu. Menyelesaikan contoh soal Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel, tidak cukup memahami rumusnya saja. Penting mengetahui bentuk dan cara menyelesaikan persamaannya yaitu dengan mencari nilai x, y dan z yang memenuhi persamaan pertama, kedua dan ketiga. Untuk menyelesaikan soal SPLTV bisa menggunakan metode berikut: Eliminasi, Substitusi, atau Eliminasi-subsitusi.

 

Untuk lebih jelasnya simak cara menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel berikut.

1.  Selesaikan sistem persamaan berikut.

Jawaban:

Langkah pertama mari kita tulis beberapa persamaan pada soal untuk kita beri label persamaan.

x - 2y + 3z = 9     .... (1)

-x + 3y - z = -6      ....(2)

2x - 5y + 5z = 17 .... (3)

Untuk menyelesaikan sistem persamaan di atas, mari kita buat menjadi bentuk sistem persamaan linear dua variabel. Caranya mengeliminasi salah satu variabel.

Misalkan pada langkah ini kita akan mengeliminasi variabel x, sehingga nanti akan diperoleh dua persamaan yang memuat variabel y dan z.

Kita ambil persamaan (1) dan (2)

x - 2y + 3z = 9    

-x + 3y - z = -6_ +    

      y + 2z = 3   ... (4)

 

Selanjutnya, kita ambil persamaan (1) dan (3)

x - 2y + 3z = 9          (dikali 2)   2x - 4y + 6z = 18

2x - 5y + 5z = 17      (dikali 1)   2x - 5y + 5z = 17 -

                                                      y + z = 1   ... (5)

 

Langkah selanjutnya gunakan persamaan (4) dan (5) untuk menentukan nilai y dan z.

Kita akan menggunakan cara eliminasi-substitusi.

Eliminasi y:

y + 2z = 3  

  y + z = 1_-   

       z = 2

Kemudian substitusikan z = 2 ke persamaan (5) untuk mendapatkan nilai y.

y + z = 1

y + 2 = 1

     y = -1

 

Langkah selanjutnya substitusikan nilai y = -1 dan z = 2 ke persamaan (1) untuk memperoleh nilai x.

x - 2y + 3z = 9

x - 2(-1) + 3(2) = 9

         x + 2 + 6 = 9

               x + 8 = 9

                     x = 1

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(1, -1, 2)}.

 

2.  Selesaikan sistem persamaan berikut.

Jawaban:

Langkah pertama mari kita tulis beberapa persamaan pada soal untuk kita beri label persamaan.

x + y + z = 2           .... (1)

6x - 4y + 5z = 31      ....(2)

5x + 2y + 2z = 13    .... (3)

Untuk menyelesaikan sistem persamaan di atas, mari kita buat menjadi bentuk sistem persamaan linear dua variabel. Caranya mengeliminasi salah satu variabel.

Misalkan pada langkah ini kita akan mengeliminasi variabel y, sehingga nanti akan diperoleh dua persamaan yang memuat variabel x dan z.

Kita ambil persamaan (1) dan (2)

x + y + z = 2          (dikali 4)       4x + 4y + 4z = 8

6x - 4y + 5z = 31    (dikali 1)       6x - 4y + 5z = 31 +

                                                      10x + 9z = 39   ... (4)

 

Selanjutnya, kita ambil persamaan (1) dan (3)

x + y + z = 2             (dikali 2)   2x + 2y + 2z = 4

5x + 2y + 2z = 13      (dikali 1)   5x + 2y + 2z = 13 -

                                                      -3x = -9

                                                         x = 3 

Kemudian substitusikan x = 3 ke persamaan (4) untuk mendapatkan nilai z.

10x + 9z = 39

10(3) + 9z = 39

    30 + 9z = 39

            9z = 39 - 30

            9z = 9

              z = 1

    

Langkah terakhir substitusikan nilai x = 3 dan z = 1 ke persamaan (1) untuk memperoleh nilai y.

x + y + z = 2

3 + y + 1 = 2

        y + 4 = 2

             y  = 2 - 4

              y = -2

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(3, -2, 1)}.

 

Demikianlah beberapa soal tentang cara menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel. Semoga bermanfaat.

SOAL LATIHAN UJIAN SEKOLAH (US) : HUBUNGAN NILAI DISKRIMINAN DAN JENIS AKAR PERSAMAAN KUADRAT

 Dalam kesempatan ini akan kami berikan beberapa contoh soal dan pembahasan tentang hubungan nilai diskriminan dan sifat akar-akar persamaan kuadrat. Nilai diskriminan pada persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 dirumuskan dengan D = b² - 4ac.

Berikut sifat-sifat atau jenis-jenis akar persamaan kuadrat jika dilihat dari nilai diskriminannya (nilai D).

1. Jika D > 0 atau b² - 4ac > 0 maka akar-akarnya adalah real dan berbeda.

2. Jika D = 0 atau b² - 4ac = 0 maka akar-akarnya adalah real dan kembar (sama).

3. Jika D < 0 atau b² - 4ac < 0 maka akar-akarnya adalah tidak real (imaginer).

 

Contoh 1

Persamaan kuadrat x² + (m + 2)x + 4 = 0 memiliki akar-akar real yang berlainan. Tentukan nilai m.

Pembahasan

x² + (m + 2)x + 4 = 0

Koefisien persamaan kuadrat ini adalah a = 1, b = (m + 2), c = 4.

Syarat persamaan kuadrat memiliki akar - akar real berlainan adalah nilai D > 0.

D > 0

b² – 4ac > 0

(m + 2)² – 4(1)(4) > 0

m² + 4m + 4 – 16 > 0

      m² + 4m – 12 > 0

    (m + 6)(m – 2) > 0

     m < –6 atau m > 2

Jadi, batasan m agar persamaan kuadrat x² + (m + 2)x + 4 = 0  memiliki akar real berlainan adalah m < –6 atau m > 2.

 

Contoh 2

Persamaan kuadrat x² + (p – 3)x + 9 = 0 memiliki akar-akar real kembar. Tentukan nilai p.

Pembahasan

x² + (p – 3)x + 9 = 0

Koefisien persamaan kuadrat ini adalah a = 1, b = (p – 3), c = 9.

Syarat persamaan kuadrat memiliki akar - akar real kembar adalah nilai D = 0.

D = 0

b² – 4ac = 0

(p – 3)² – 4(1)(9) = 0

p² – 6p + 9 – 36 = 0

      p² – 6p – 27 = 0

    (p + 3)(p – 9) = 0

     p = –3 atau p = 9

Jadi, nilai p agar persamaan kuadrat x² + (p – 3)x + 9 = 0  memiliki akar kembar adalah p = –3 atau p = 9.

 

Contoh 3

Persamaan kuadrat kx² + (2k + 1)x + (k – 1) = 0 memiliki akar-akar real kembar. Tentukan nilai k.

Pembahasan

kx² + (2k + 1)x + (k – 1) = 0

Koefisien persamaan kuadrat ini adalah a = k, b = (2k + 1), c = (k – 1) .

Syarat persamaan kuadrat memiliki akar - akar real kembar adalah nilai D = 0.

D = 0

b² – 4ac = 0

   (2k + 1)² – 4(k)(k – 1) = 0

4k² + 4k + 1 – 4k² + 4k = 0

4k² – 4k² + 4k + 4k + 1 = 0

                         8k + 1 = 0

                               8k = –1

                                k = –1/8

Jadi, nilai k agar persamaan kuadrat kx² + (2k + 1)x + (k – 1) = 0  memiliki akar real kembar adalah k = –1/8.

 

Contoh 4

Tentukan nilai p pada persamaan kuadrat x² – 6x + (p + 2) = 0 agar memiliki akar-akar tidak nyata (Imajiner).

Pembahasan

x² – 6x + (p + 2) = 0

Koefisien persamaan kuadrat ini adalah a = 1, b = – 6, c = p + 2.

Syarat persamaan kuadrat memiliki akar - akar tidak nyata (tidak real) adalah nilai D < 0.

D < 0

b² – 4ac < 0

(– 6)² – 4(1)(p + 2) < 0

            36 – 4p – 8 < 0

                 28 – 4p < 0

                        28 < 4p

                         7 < p

                         p > 7

Jadi, batasan p agar persamaan kuadrat x² – 6x + (p + 2) = 0  memiliki akar tidak real adalah p > 7.

 

Contoh 5

Tentukan batas-batas nilai k pada persamaan kuadrat 2x² – 2(k – 4)x + k = 0 agar memiliki akar-akar tidak nyata (Imajiner).

Pembahasan

2x² – 2(k – 4)x + k = 0

Koefisien persamaan kuadrat ini adalah a = 2, b = – 2(k – 4) = -2k + 8, c = k.

Syarat persamaan kuadrat memiliki akar - akar tidak nyata (tidak real) adalah nilai D < 0.

D < 0

b² – 4ac < 0

(-2k + 8)² – 4(2)(k) < 0

4k² – 32k + 64 – 8k < 0

       4k² – 40k + 64 < 0

         k² – 10k + 16 < 0

          (k - 2)(k - 8) < 0

                    2 < k < 8

Jadi, batas-batas nilai k agar persamaan kuadrat 2x² – 2(k – 4)x + k = 0  memiliki akar tidak real adalah 2 < k < 8.

 

Contoh 6

Persamaan kuadrat (p + 2)x² - (2p - 1)x + p - 1 = 0 memiliki akar-akar real yang berlainan. Tentukan batas-batas nilai p.

Pembahasan

(p + 2)x² – (2p – 1)x + p – 1 = 0

Koefisien persamaan kuadrat ini adalah a = p + 2, b = – (2p – 1) = 1 – 2p, c = p – 1.

Syarat persamaan kuadrat memiliki akar - akar real berlainan adalah nilai D > 0.

D > 0

b² – 4ac > 0

(1 – 2p)² – 4(p + 2)(p – 1) > 0

1 – 4p + 4p² – 4(p² + p – 2) > 0

1 – 4p + 4p² – 4p² – 4p + 8 > 0

                               9 – 8p > 0

                                  –8p > –9

                                    8p < 9

                                      p < 9/8

Jadi, batas-batas nilai p agar persamaan kuadrat (p + 2)x² – (2p – 1)x + p – 1 = 0  memiliki akar real berlainan adalah p < 9/8.

 

Demikianlah beberapa soal tentang hubungan antara nilai diskriminan dengan akar-akar persamaan kuadrat. Semoga bermanfaat.